线性规划灵敏性分析

出处：按学科分类—经济 湖北人民出版社《企业管理公式辞典》第355页（3542字）

指线性规划模型中各类参数对最优解的影响分析。具体地讲，是研究模型中目标函数系数c_j、资源数(右边常数)b_i及技术系数a_ij发生变化时，最优解将受到什么影响，某个参数变动多大范围才会使最优解变化，最优解对哪些参数反应灵敏等。了解这些情况，作出分析，能使管理者具有更大的主动性。

这里通过一个例子，说明一些简单的灵敏分析方法。

某厂拟生产甲、乙两种产品，主要消耗A、B两种原料。生产单位甲产品需A原料2吨，B原料4吨；生产单位乙产品需A原料3吨，B原料2吨。目前，该厂有A原料100吨，B原料120吨。又知生产单位甲产品可获利润6千元，单位乙产品一件可获利润4千元。问如何安排生产，能获得最大利润?

用线性规划模型求解，设生产甲产品X₁单位，生产乙产品X₂单位，建立模型

引入松弛变量X₃，X₄(分别表示A、B原料的剩余量)后，模型化为标准型：

用单纯形法求解：

结果表明：生产甲产品，乙产品各20单位，获利最大，为200(千元)，这种方案A、B两种原料均用尽。

(1)目标函数系数C_j变化对解的影响

这里又分为两种情况：

①基变量系数C_j变化

设甲产品单位利润C₁发生变化，变化量为ΔC₁，这个变化量在什么范围内最优解仍维持不变，可通过最终单纯形表计算出。

在最终表中，由基变量X₁所在行，将非基变量所对应元素(表中虚线框元素)分别乘以ΔC₁，加到它们的检验数上，得到变化后的非基变量检验数：

保持检验数Z_j－C_j≥0，则最优解不变

即令

两不等式必须同时满足，故≤ΔC₁≤2，说明甲产品的单位利润在增加2(千元)和减少(千元)范围内，上述计划不变；或者得到≤2+6，即#≤C₁≤8，表明只要甲产品的单位利润在〔，8〕这个范围内，生产计划都不必改变。

如果甲产品单位利润变化超出了上述范围，可利用检验数变化了的最终表继续迭代，求出新的最优解。

②非基变量系数C_j变化

设x₃目标系数变化，变化量为ΔC₃，此时只影响X₃在最终表的检验数，将最终表X₃的检验数减去ΔC₃，同时保证≥0，即可得到使最优解不变的系数变化范围。

说明C₃的变化不超过，原计划不变。

例如，假设A原料若剩余1吨，可通过对外处理获1千元利润，讨论原计划方案是否变化。

这里ΔC₃=1(原C₁=0)，超过了上述范围，计划要改变，续检验数变化后的最终表用单纯形法继续迭代：

新的最优方案为，生产甲产品30件，乙产品不生产，A原料有40吨可对外处理，B原料用尽，这样可获利润220(千元)。通过分析，当C₂变化后，找到了调整的最优方案。

(2)资源数(右边常数)b_i变化对解的影响

设A原料数量发生了变化，变化量为Δb₁。资源发生这个变化后对最优解的影响，可以从最终单纯形表直接得到。

在最终表中，找到变化资源的松弛型量(本问题A原料的松弛变量为X₃)，将该变量在最终表的那一列元素(表中虚线框元素)分别乘以Δb₁，加到对应的b列元素上，即得到变化后的解：

例如，若A原料增加了4吨(即Δb₁=4)，则新的最优解为：

说明，若A增加4吨后，应调整计划，甲产品生产19单位，乙产品生产22单位，可获利润202千元。

只要变化后的解是非负数，则这样得到的解就是新的最优解。欲求出使最优基不变(即品种安排不变)的资源变化范围，只要保证变化后的解≥0即可求出。

说明A原料在增加80吨和减少40吨(或说A原料拥有量在60～180吨)范围内，上述最终表仍作为最优表不变。对应这个具体问题，说明都应组织两种产品的生产。

(3)技术系数a_1j变化对解的影响。这里仅介绍最简单情况，a_ij数目增多，即技术系数矩阵扩大的情况。对应有下面两种情况的经济分析。

①增加新的约束条件对解的影响

设再考虑C原料：生产这两种产品不得超过150吨，单位甲、乙产品分别耗用C原料2吨和5吨。可列出新增的约束方程：

2X₁+5X₂≤150

将原来的最优解X₁^*=20，X₂^*=20代入：

2×20+5×20≤150

不等式成立。故新增约束条件不影响最优解，仍按原方案生产。

若代入新的约束条件，不等式不成立，说明影响最优解。则可将新增约束条件加入松弛变量，用对偶单纯形法继续运算，得到新的最优解。

如C原料可用量只有130吨，原最优解代入不满足约束不等式。重新找最优解，引入松弛变量X₅：

2X₁+5X₂+X₅=130

加入原最优单纯形表，得到

结果表明，考虑C资源用量只130吨的情况下，生产计划要调整为甲产品25单位，乙产品10单位，获利润190(千元)。利润减少了，这是由于新增约束条件使可行域缩小的缘故。

②增加新决策变量

可对应于新产品开发问题。设该厂考虑增加新产品丙，单位丙产品消耗A原料3吨，B原料6吨，单位利润8千元，新产品是否应当生产?

用变量X₆表示新增产品丙，根据检验数的经济含义，用新增产品对A、B原料的耗用量分别乘以A、B原料影子价格(即A、B资源松弛变量检验数)，用它们的和减去新增产品单位利润，得到新增产品x₆在原问题最终单纯形表中检验数：

说明新增变量不影响原最终单纯形表最优性，即对最优解无影响，不予考虑新产品的投产。

若这样计算出的检验数小于零，说明破坏了原解的最优性，应考虑新产品的投产。具体的最优计划，可通过增加了一列元素的原最终单纯形表继续迭代得到。

〔参〕“求解线性规划单纯形法”，“对偶单纯形法”