正方形的判定

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《初中数理化公式定理大全》第125页（1894字）

例1 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．

(1)求证：DE=DF；

(2)只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法(不另外添加辅助线，无需证明)．

(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵DB=DC，∴△DEB≌△DFC．

∴DE=DF．

(2)DE⊥DF或∠A=90°或∠B=45°

或F是AC中点．

例2 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE=AC．

(1)求∠ACE、∠CAE的度数；

(2)若AB=3cm，请求出△ACE的面积．

解 (1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，

∴∠ACE=135°．

又∵AC=CE，

∴∠CAE=∠E=22．5°．

(2)在Rt△ABC中，AB=BC=3cm．

平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系：

例1 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行(如图所示)：

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①)，使AB=CD，EF=GH；

(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是＿＿，根据的数学道理是＿＿；

(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格，这时窗框是＿＿，根据的数学道理是＿＿．

答 (2)平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

(3)矩形，有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

①

②

③

④

例2 把边长为2厘米的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形．(全部用上，互不重叠，且不留空隙)

(1)菱形(正方形除外)．

(2)矩形(正方形除外)．

(3)梯形．

(4)平行四边形(矩形和菱形除外)．

(1)

(2)

(3)

(4)