公理法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第151页（1391字）

贯穿数学各分支的共同方法，数学的根本方法。

可概述为：从某些基本概念(初始概念)和基本命题(公理)出发，依据一定的规则(逻辑规则)定义出一系列的概念，推导出一系列的命题，从而建立起某种理论系统。作为出发点的基本概念在这样的系统中自然就是不可定义的。

同样，作为出发点的公理在这样的系统中是不可证明的。

数学之所以采用这样的方法作为根本方法是由数学的研究对象决定的。恩格斯说：“纯数学是以现实世界的空间的形式和数量关系为对象的。……为要能够在其纯粹状态中去研究这些形式和关系，那么就必须完全使它们脱离其内容，把内容放置一边作为不相干的东西。”如果要在纯几何学的范围内，就是说要完全脱弃任何质的、具体的内容来考察几何图形，那么除非从这个或那个图形概念本身出发，使用逻辑进行推理，就不能得到新的结论。例如，等腰三角形二底角相等这一定理是从等腰三角形这一概念引伸出来的。

尽管可以精确地测量成千上万个等腰三角形的底角，但这并不能给我们这条定理的证明。数学家们为了发现自己的定理也常常利用模型、物理的类比，注意许多单个的十分具体的实例等等。所有这些都可以是理论的现实来源，有助于发现新的定理，但是每个定理最终地在数学中成立，只有当它已从逻辑的推理上严格地被证明了的时候。就是说，只有脱弃一切质的、具体的内容才能得到关于空间形式和数量关系的普遍结论。

要使一个命题成为数学中的一条定理，除了从作为定理的前提的概念自身出发，利用已经确立的定理、已经定义的概念，依照逻辑规则进行推理外，不能有别的方法。证明定理甲，要引用定理乙，证明定理乙又要引用定理丙，等等。

这个追溯过程不能无限进行下去，总要有个终点。终点就是公理——在本系统中不加证明也不能证明而直接采用的基本命题。

关于概念也可讲同样的话。

公理方法首先是对已有知识进行总结，建立知识的理论系统的一种方法。

没有一定的知识积累不可能出现公理方法。为什么可以使用公理方法呢?根本原因在于知识所反映的客观事物有它固有的联系。

处于公理系统中的知识的联系表示着它所反映的事物间的联系。这便是公理方法的客观根据。

正如恩格斯所说：“甚至数学上的量的相互演算似乎是先验的，也并不证明它们的先验的来源，而只是证明它们的合理的相互关系。”

使用公理方法总结数学知识构成数学理论体系，对于数学的发展有巨大的作用和意义。

首先，它使数学理论真理性的检验获得了一种简明的特殊的方式。实践是检验真理的唯一标准。用公理方法总结整理数学知识建立起公理化的理论体系后，就使实践的检验归结为对于公理、初始概念和逻辑规则的检验。

因而，在公理体系中得出的定理的真理性就可以在经过实践检验的公理、初始概念和逻辑规则的基础上逻辑地确立起来。

由于数学的抽象程度日益提高，公理方法的这种作用并得日益重要。其次，在用公理方法建立起来的理论体系中，种种知识间的联系条理分明，逻辑结构清晰，从而可以更加深入地认识它们之间的联系，为作出科学预言创造了有利条件，使理论更富于预见性。第三，通过揭露已有知识的逻辑矛盾和缺陷，发现其不足之处，进而提出新的问题，引起新的探索，促进数学发展，公理方法是数学发展的一种理论动力。