回归分析

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第186页（883字）

研究随机的相互关系的主要方法。

它能描述自变量与因变量之间的关系的特点、揭示自变量如何影响因变量的机制，预测或控制因变量未来变化的过程，即从一定的因变量如何控制自变量。

设y_(i)=(y_i1y_i2…yi_ip)，Y=(y′(₁₎y′(₂₎…y′(_n))′为P维多元数据的n个观察值y₍₁₎，y₍₂₎，…，y_(n)的RXP矩阵，并能表示为：(1)Y=(ⅡX)β+ε，此处I=(1

1…1)′，X为已知说明变量的nαk矩阵，β是未知参数的(R+1)×p矩阵和ε是误差变量的nαp矩阵。我们假定，(1)ε的均值Eε=0。(2)ε的各行向量ε₍₁₎，ε₍₂₎，…ε_(n)为相互独立的随机变量且同分布。

(3) ε_(i)服从具有相同的协差阵V＞0的分布。那么β的最小二乘法估计量可以定义为使为最小的(R+1)×P矩阵，并当(ⅡX)′(ⅡX)≠0时

β=〔(IX)′(ⅡX)〕^－1(ⅡX)′Y

，则和分别是β0，B，V的无偏估计量，若再假定：ε的各行向量服从p维正态分布，和Q为完备的充分统计量，从而和为最小方差无偏估计量，与Q独立，从正态分布，Q服从自由度为n－R－1的维希特分布。

对于一般情况下回归系数的检验，考虑模型：R=R₁+R₂，n＞R+1，独立，同协差阵V，且服从正态分布。为检验H₀：B₂=0令：

，，此处，C₁=(ⅡX₁)，P_C1为C₁列向量张成的子空间上的投影阵。

若假设H₀成立，则Q_Ω与Q_H0－Q_Ω独立地服从自由度为n－k－1和K₂的维希特分布。

否则服从非中心维希特分布。令，当H₀：B₂=O成立时。u就是维希特统计量：A(ρ，n－R－1，R₂)。

由此可以给出它的临界域。