拉普拉斯方法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第214页（1288字）

阶的估计的重要方法。

该方法主要是对形如的积分进行估计，当x→+∞时，无穷大量e^x的增长速度是“相当快”的，因此，如果函数h(x)在(a，b)中某一点x₀达到最大值，那么，由于h(x₀)－h(x)＞0，当n→∞时，e^{n(h(x0)－h(x))}的增长也是相当快的，也就是说，对于x0的任一邻域外的x值，e^nh(x)相对于e^nh(x0)是可以忽略不计的，这就是拉普拉斯方法的基本思想。

拉普拉斯方法有着极其广泛的应用，它的核心就是以下的重要定理。

定理1(拉普拉斯)设φ(x)与h(x)在〔a，b〕上有定义，且满足条件：

(1)对于任意的n≥n₀，φ(x)e^nh(x)在〔a，b〕上可积；

(2)h(x)在〔a，b〕上只有一个最大值点x=ξ，ξ∈(a，b)，而且在任何不包含ξ的闭区间(α，β〕内，有sup_{x∈〔α，β〕} h(x)

(3)在ξ的某一邻域内，h”(x)连续，h”(ξ)<0；

(4)φ(ξ)≠0，φ(x)在x=ξ连续，

则当n→∞时，有

显然，当a或b为∞时，只要｜φ(x)e^nh(x)｜(n≥n₀)在相应的无穷区间上可积，则定理1仍然成立，作为定理1的应用，容易推得重要的斯特林公式：因为，若取，由定理1可得。这就是斯特林公式。

对于在端点达到最大值的情形，类似地可以得到下面的定理。

定理2，设φ(x)与h(x)在〔a，b〕上有定义，且满足：

(1)对于任意整数n≥n₀，φ(x)e^nh(x)在〔a，b〕上可积

(2)h(x)在x=a达到最大值且对任何区间〔α，b〕(α＞a)，都有；

(3)存在η＞0，使得h”(x)与Φ(x)在〔a，a+η〕内连续；

(4)h’(a)=0，h”(a)<0，φ(a)≠0，

则当n→∞时，有

对于h’(a)≠0或h’(b)≠0的情形，亦有类似的结果。

作为定理2的应用，下面来研究重要的n阶贝塞尔函数当t→∞时的阶，在定理2中，取

φ(θ)=cosnθ，h(θ)=cosθ，a=0，

则立即可得到

。