数理经济学

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第211页（2138字）

用数学语言、概念、方法表述和研究经济理论的学科。

它起源于19世纪中叶，但到20世纪40年代之后才获得长足的进展。

数理经济学的研究方法是先把经济结构和经济活动者行为公理化，然后用数学演绎的方法进行推理，最后对结论进行经济学上的解释。原则上，经济学的任何学派都可用数理经济学的方法来研究，但实际上目前的数理经济学多半研究新古典主义经济学的问题，因为这类问题最便于数学化的缘故。

商品和价格是经济学的两个基本概念，只要选定商品的度量单位和选定某种商品(例如黄金)的价格作为基准价格，则商品及价格就分别惟一地由一个数量(为便于运用数学，假定它们都是实数，而不一定是自然数或有理数)表示。从而对一个有n种商品的经济，各种商品量在一起就构成n维实空间中的一个点，这个空间称为商品空间。一个经济活动者的活动就由他对每一种商品的投入、产出数量来描述。

如把投入数量作为负的，产出数量作为正的，则经济活动者的活动就可由商品空间的一个点表示。类似地，此经济中的价格体系也由价格空间的一个点表示。

由于这两个空间的丰富的数学结构，给近代数理经济学的发展提供了理想的基础。

数理经济学的发展大体分为3个阶段：①以微积分为基础的边际分析阶段(1838～1947年)，以柯诺(Cournot，1838)、希克斯(Hicks，1946)和萨缪尔森(Samuelson，1947)的着作为标志。②集合论和线性模型阶段(1948～1960年)，以冯·诺依曼和摩根斯特恩(Von Neumann and Morgenstern，1947)、库普曼斯(Koopmans，1951)、陶夫曼、萨缪尔森、索洛(Dorfman，Samuelson，Solow，1958)和德布鲁(Debreu，1959)的着作为标志。③综合阶段(1961年至今)。

早期的数理经济学是借用物理学和数学的方法来发展一种正规理论。在新古典主义经济学的观点下，消费者需求理论假设消费者在预算约束下最大化的效用函数，故可利用微积分研究价格和收入变化对商品需求的影响。

厂商理论假设生产者选择一个使其利润最大的生产计划，并在完全竞争、垄断和寡头独占等情形下研究最优的产出水平。由于各种产品的市场是相互关联的，就要由各种商品的总需求等于总供给来表示经济均衡。由此产生均衡的存在性问题(即是否存在一组价格使得消费者的总需求等于生产者的总供给)、均衡的惟一性、稳定性、最优性及如何达到均衡等问题。

另一个方向是研究不用价格系统，而是在经济内部以物易物，从而达到某种最优结果的问题。

这些可能的最优结果的集合称为合同(或契约)曲线。如考虑到各个活动者的初始财产，则这些可能的最优结果集合称为经济的核。

从而产生核与竞争均衡的关系研究，并导致所谓的核极限定理。

第二阶段主要工作表现在把第一阶段中作为数理经济学工具的微积分用集合论和线性模型代替。

由于使用了集合论，使得早期理论中要求必须是可微的函数由更为一般的函数所代替。由于使用了线性模型，使得光滑函数不能处理的现象变得能处理了。

利用集合论方法竞争均衡的存在性得以严格证明，并导致竞争均衡的最优性结果(福利经济学的两个基本定理)。引起长期争论的效用函数的存在性问题也由集合论方法得以论证。作为线性模型的应用，首先是投入产出模型，然后是生产的活动分析模型及多部门经济增长模型得以研究。与此同时，由东西方科学家独立发展的线性规划在经济学中的应用和理论两方面均起重要作用。

利用线性规划的对偶定理和拓扑学的多值映射不动点定理证明了一般均衡的存在性，在这个时期还出现所谓“大道定理”的研究。

在第三个阶段，数理经济学不仅使用微积分、集合论和线性模型，也使用各种各样的现代数学的概念和成果。

例如，不动点定理虽然提供了均衡的存在性证明，对经济的数学模型加上适当条件也能保证均衡的惟一性。可是这些条件都太强，从而往往只能转而考虑局部惟一性。

即使这样，某些经济的均衡局部惟一性也不能保证。

不过，如果人们从通有性(gane ricity)的观点考虑问题，就会发现那些均衡局部惟一性不能保证的经济的集合是可以忽略不计的。

对这个结论证明的理想工具是萨德(Sard)的关于可微映射临界值集的定理。由于对均衡集合的研究提供了合适的工具，从而微分拓扑学和大范围分析在现代数理经济学中起重要作用。

这方面的工作总结见马斯－柯列尔(Mas-Colell)的着作。

一些新的数学方法被应用到经济理论中，在解决某些基础问题的同时，也开创了许多新的领域，诸如不确定性经济学、经济的大范围分析、生产和消费的对偶理论、经济成长理论、均衡价格的计算、社会选择和激励协调理论等。