非标准分析

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第245页（922字）

非标准分析是美国数学家罗宾逊(A．Robinson，1919～1974)在1960年前后所创立的新的数学分析方法。

19世纪以来，微积分中的无限大、无限小概念都已被数学家们严格化为极限过程，使得极限方法成为一种标准的数学分析方法。但这与微积分的创始人牛顿和莱布尼茨把无限大、无限小看做实在的数在观念上是不一致的，并且失去了原有的直观性。

罗宾逊则利用数理逻辑的研究成果，重新建立了“实在无限大”、“实在无限小”的严格数学基础，并把由此出发的数学分析称为非标准分析。

原有的标准分析都可在非标准分析的框架上重写，而由于包含“实在无限大”、“实在无限小”的新数系的引入，使数学分析驰骋的天地更为广阔。

非标准分析被认为20世纪最伟大的数学成就之一，但由于广大数学界已习惯于标准分析，它并未被很多人所接受。

与非标准分析出现几乎同时，数理经济学家们正热衷于“埃奇沃斯(Edgeworth)猜想”的证明。这个猜想是说，对一个不包含生产者的纯交换经济来说，当经济活动者无限增加时，他们之间由(非合作)完全竞争所达到的“瓦尔拉斯(Walras)均衡”(即一般经济均衡)，与(合作)议价所达到的“埃奇沃斯均衡”(即经济的核，在二人二商品情形它就是着名的“合同曲线”)是趋于一致的。1959年舒彼克(M．Shubik)把埃奇沃斯当年的论述给出了严格的对策论证明。1963年德布鲁(G．Debreu)和斯卡夫(H．E．Scarf)给出了一般情形的证明。1964年奥曼(R．J．Aumann)在假设经济活动者的总数与线段上的点数一样多(这比自然数全体要多得多)和单个经济活动者的作用为零时，利用测度论方法，得出两种均衡是相同的，而不仅是趋于一致。这个结果引起罗宾逊的兴趣，他认为奥曼对经济活动者的个数假定是不自然的，更合理的模型应该用非标准分析方法，假定经济活动者的个数是个“无限大自然数”。他与经济学家布朗(D．J．Brown)合作，在1972年对“非标准纯交换经济模型”同样证明了埃奇沃斯猜想。

这个结果，无论是对非标准分析还是对大经济的核和均衡理论的发展，都有很大影响。