突变理论

出处:按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第245页(833字)

是法国数学家托姆(R.Thom,1923~ )所创立的。

它的诞生以托姆在1972年出版的《结构稳定性与形态发生》一书为标志。这一理论运用数学方法来分析事物突变可能有的类型。众所周知,事物的量变会引起质变。与主要用来研究量变的通常数学有根本不同的是,突变理论主要用来研究质变。

因此,有人甚至认为这是顿以来最重要的科学进展。但实际上突变理论所涉及的质变,只限于动力系统结构的突变(catastrophe,其原意为“灾难”),有很大的局限性。

在数学上,事物状态的变化是用微分方程来刻画的;这种微分方程常被称为一个动力系统。在这个动力系统中含有某些反映内部结构或外界条件的参数,而当这些参数处于某些“突变点”时,系统的结构就会发生突变。例如,系统在突变点上会使系统的平衡点(代表可能有的稳定状态)个数发生变化,有时一分为二或由无变有,有时合二而一或由有变无等等。

突变理论的主要数学任务在于对各种突变进行分类。而托姆的一大贡献就是证明了只有折叠、尖点、燕尾、椭圆形脐点、双典形脐点、蝴蝶、抛物形脐点等7种基本突变。

托姆本人试图把他的理论用来说明胚胎发育、海浪形状、光的焦散、语言变化等有突变的现象。

许多数学家及其他科学家又把这一理论用到各种自然科学和社会科学问题,其中尤其是经济学、心理学、社会学、政治学等方面的问题。对于这些应用是否得当常常引起许多争论。其实不少“应用”也只不过是一种突变理论的比喻。

然而,突变理论作为可以用来研究质变现象的数学,其重要性是无可争辩的。

在经济学中,人们曾企图用突变理论来研究经济的突变现象。例如,经济周期、股票市场的不稳定等等。尽管看来并不很成功,但它所涉及的经济模型正是被萨德(Sard)定理所排除的临界(非正则)经济,因此具有特殊意义。

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