ARIMA模型

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第269页（1570字）

现实中，我们处理的许多经济时间序列是非平稳的。

但幸运的是，我们对可通过差分一次或更多次而将之转换为平稳的时间序列。然后，对转换后平稳的新序列建立ARMA模型。

则对转换前非平稳的原序列而言，该模型为ARIMA模型。如果w_t=△^dy_t是平稳序列，我们就称y_t是d阶可平稳化的非平稳过程。

这里△表示差分，即：

△y_t=y_t－y_t－1，△²y_t=△y_t－△y_t－1

等等。我们可对w_t建立ARMA过程的模型。

如果w_t是一个ARMA(p，q)过程，则我们称y_t是(p，d，q)阶可整的自回归－移动平均过程ARIMA(p，d，q)：

Φ(B)△^dy_t=δ+θ(B)ε_t (1)

其中Φ(B)=1－Φ₁B－Φ₂B²－…－Φ_pB^p和θ(B)=1－θ₁B－θ₂B²－…－θ_qB^q。

我们称Φ(B)为自回归算子和θ(B)为移动平均算子。

有可能平稳序列w_t不是混合的，即或是自回归或是移动平均。

如果w_t是AR(p)，我们称y_t为(p，d)阶可整的自回归过程并记之为ARI(p，d，0)。如果w_t是MA(q)，我们称y_t为(d，q)阶可整的移动平均过程并记之为IMA(0，d，q)。

如何选择最合适的p，d和q的值，即ARIMA模型的识别。

可通过检查序列的自相关函数和偏自相关函数而得到部分解决。

给定序列y_t，对之建模的首要问题是确定可平稳化的差分次数d。我们可应用平稳序列的自相关函数ρk随着k增大而下降为0的结果来确定d。这是因为，对于(p，q)阶ARMA平稳过程，我们知道该过程的移动平均部分的自相关函数当k＞q时为0，即这部分只有q期记忆力。

我们也知道平稳ARMA过程自回归部分的自相关函数以几何级数下降为0。平稳ARMA过程的自相关函数前q－期有移动平均的特征。

之后就反映出自回归的特征，以几何级数下降为0。为了确定d，首先检查原序列y_t的自相关函数，确定y_t是否平稳。

如果y_t不平稳，再对差分后序列△y_t的自相关函数进行检查。重复这个步骤直到有某个d使得w_t=△^dy_t是平稳的。

即自相关函数当k增大时趋向于0。也应该检查时间序列本身，如果它有某种趋势，则必不平稳，就必须对它进行差分。

d确定后，计算平稳序列w_t=△^dy_t的自相关函数和偏自相关函数以确定p和q。对于低阶过程的识别较容易，因为参照Robert S．Pindyck & Daniel L．Rubinfeld“Econometric Models and Economic Forecasts”(Fourth Edition)图17．1到图17．10很容易对AR(1)，AR(2)，MA(1)，MA(2)和ARMA(1，1)进行识别。然而，如果序列不是低阶的ARMA过程，则高阶p和q的确定将比较困难，这需要对自相关函数，偏自相关函数仔细的审查。

例如自相关函数有钉形形状表明有移动平均项，偏自相关函数可用于确定过程自回归部分的阶数。

如果过程的自回归和移动平均部分都是高阶的，我们能做的仅仅是对p和q进行猜测。在ARMA(p，q)模型的参数被估计之后，就可对猜测进行检验。

诊断检验的第1步是计算已估ARMA(p，q)模型的残差项的自相关函数，第2步是确定残差是否为白噪声。如果不是白噪声，必须尝试新的识别。