有限域

出处：按学科分类—自然科学总论 天津人民出版社《自然辩证法辞典》第261页（519字）

亦称“伽罗华域”。

指伽罗华在研究高次方程的根时引进的一个概念。原初所谓伽罗华域就是只含有限个元素的斜体，而有限域，是指只含有限个元素的域。直到1905年，魏德本证明了有限的斜体是可交换的，这样，伽罗华域即为有限域，两者就统一起来了。

有限域有许多好的性质。

首先，对于任意有限域F，并设它有q个元素，对于F中的任何元素ξ，必定有ξ^g=ξ，即有限域的乘法群是循环群。其次，通过引进域的同构和子域等概念，我们可以得到下列关于有限域的结构方面的性质：存在一个素数p和一整数n，(n＞0)，使得F的元数q=pⁿ，且对任意F中元素ξ，都有P^ε=0。反过来，对于每个素数p和整数n，(n＞0)，都存在一个元数为pⁿ的有限域，记为GF(Pⁿ)。由于可以证明，任意两个元数相同的有限域同构，这样，一个有限域可完全地由p和n来决定，至此，有限域的结构和性质就被明确地给了出来。

近30年来，代数学在实际应用方面有了飞速发展，在编码理论和线性开关电路方面，有限域理论有广泛的应用并且是研究它们的重要工具。正因为如此，有限域理论正日益为广大计算机工作者所重视和熟知。