非欧几何

出处：按学科分类—自然科学总论 天津人民出版社《自然辩证法辞典》第502页（1347字）

相对欧几里德几何而言的另外一类几何。

有广义、狭义和通常意义3种不同的含义。广义是泛指一切与欧几里德几何不同的几何，狭义是指罗巴切夫斯基几何，通常意义是指罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。这里指的是通常意义的非欧几何。

非欧几何的产生与数学史上着名的“欧氏第五公设问题”密切相关。

欧氏第五公设是欧几里德《几何原本》5个公设中的最后一个，也即平行公理。其内容是：如果两条直线被第三条直线所截，所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两条直线延长，一定在那两内角的一侧相交。

由于它不象《几何原本》中的前4个公设那样“不证自明”，因此引起许多数学家的怀疑，认为它是一条定理，可以给出数学证明。这就产生了“欧氏第五公设问题”。从公元前3世纪《几何原本》问世，到19世纪初非欧几何发现，历代许多数学家都尝试过第五公设的证明，但都归于失败。

长期的试证失败启示某些深有卓见的数学家去思索问题的反面－第五公设证明不可能问题。

19世纪初，德国的高斯、匈牙利的亚·鲍耶和俄国的罗巴切夫斯基，就是在尝试解决第五公设不可证的过程中，几乎同时发现非欧几何的。高斯生前没有公开发表自己的非欧几何研究成果，亚·鲍耶于1832年以他父亲的一本书的附录形式作了公开发表，罗巴切夫斯基在1826年2月23日于喀山大学物理一数学系最先公布了有关非欧几何的论文，这一天被公认为非欧几何的诞生日，这种非欧几何也就被称为罗巴切夫斯基几何。

1854年，德国的黎曼于哥廷根大学又提出了另外一种非欧几何，通常简称黎曼几何。由于非欧几何的命题与传统几何观念和人们的日常生活经验相背离，难以使人置信，因而长期遭到学术界的怀疑和反对。直到1868年意大利数学家贝特拉米给出了非欧几何在欧氏空间曲面上的解释，非欧几何才开始得到学术界的普遍承认和深入研究。

非欧几何与欧氏几何的根本区别在于平行公理不同。欧氏几何的平行公理通常表述为第五公设的等价命题：过直线外一点，只能作一条直线与已知直线不相交。罗氏几何的平行公理说的是：过直线外一点，至少可作两条直线与已知直线不相交。

而在黎氏几何中，任意两条直线必有唯一的交点。由于平行公理不同，因此凡是和平行公理有关的命题，在3种几何中就有完全不同的意义。

例如三角形的内角和，在欧氏几何中等于两直角，在罗氏几何中小于两直角，在黎氏几何中大于两直角。

非欧几何与欧氏几何有着统一的关系。这主要表现在：(1)在欧氏几何空间可以找到非欧几何的“模型”，如拟球面模型，射影平面模型和圆内模型等；(2)曲率为K的定曲率曲面上的几何学，当K=0时是欧氏几何，当K＜0时是罗氏几何，当K＞0时是黎氏几何；(3)罗氏几何、黎曼几何和欧氏几何都是研究刚体变换下图形不变的性质的几何学；(4)罗氏几何、黎曼几何和欧氏几何都是射影几何的特例，统一在射影几何之中。非欧几何和欧氏几何一样，是对现实物理空间几何属性的近似描述，只不过欧氏几何适用于日常经验范围内的空间，而非欧几何则适用于巨大尺度的宇宙空间。

这已被现代物理学、宇宙学和天文观测所佐证。