保圆几何

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第78页（4446字）

讨论保圆变换以及存在这类变换的空间的几何。

所谓圆即为测地圆，是指一个黎曼空间(M，g)中第1曲率为常数，第2曲率恒为零的曲线Г：xⁱ=xi(s)(i=1，…，n)，其微分方程是

式中算子表示关于Г的弧长s的协变微分。而保圆变换则是指使每个测地圆都变到测地圆的共形变换。

对于二黎曼空间(M，g)和()，若度量张量g和有关系

则称M和间存在着共形对应或共形变换。且能选取局部坐标系使这个对应表现为。在此变换下，测地圆的对应曲线称为共形测地圆。一般说来，不是圆。为使共形变换(2)将每个圆都变到圆的充要条件是(2)中的函数ρ满足偏微分方程

ρ_ij=Φg_ij (3)

其中，，Φ是某函数，而“▽_j”表示协变微分。这一着名结果是K．Yano在1940年发表的论文《保圆变换》中建立的。同时在这篇文章中，K．Yano提出了“保圆几何”的概念。接着他把关于这一几何的系统研究写成了“保圆几何”的系列论文，先后于1940年和1942年正式发表。

上述《保圆变换》就是其中的第一篇。该文建立了圆的微分方程(1)，证明(3)是(2)为保圆变换的充要条件，并得到了在保圆变换下不变的保圆曲率张量

及其缩并张量，式中R_jk和R分别是黎曼空间M的Ricci张量和数量曲率。

该文最后定义了保圆平坦空间是恒为零的空间。显然它是常曲率空间。

而且从(4)及其缩并张量易得：利用保圆变换常曲率空间或爱因斯坦空间相应变到常曲率空间或爱因斯坦空间。这些结果指明了保圆变换的基本性质。

《ρ_ij=Φg_ij的可积条件》是系列篇之二。该文通过对这一可积条件的讨论得出了几个定理，定理的结果可综述为：若一个黎曼空间M存在保圆变换(2)，则ρ－曲面：ρ(x)=const是M的一族全脐点超曲面，且其正交轨线ρ－曲线为测地Ricci曲线。

反之，若M容有这样的一族超曲面，则M必存在保圆变换。这个结果揭示了黎曼空间存在保圆变换的一个几何特征。

若M中的曲线Г：x=x(s)不是圆，则(1)的左边确定的是一个向量Vⁱ。可见圆是其特殊情形。

系列篇之三《曲线的理论》首先证明Vⁱ的方向在保圆变换下不变，在此基础上再导出保圆变换下其他的不变方向，从而建立起保圆几何中曲线的Frenet公式。此外，该文还证明：若V_n中超曲面V_n－1的任一圆也是V_n的圆，则V_n－1是具有常数平均曲率的全脐点超曲面。

同时指出，全脐点超曲面的平均曲率是常数的性质虽然不是一般共形变换的不变性质，但在保圆变换下该性质却是不变的。

系列篇之四与之三比较，则更为广泛地讨论保圆几何中《子空间的理论》，得出了V_n的保圆变换(2)在子空间中的诱导共形变换：也为保圆的充要条件是函数ρ满足。

特别，当V_m是V_n的全脐点子空间时，诱导共形变换必定是保圆的。该文同时建立了保圆几何中的高斯(Gauss)和科达溪(Codazzi)方程，以及魏加吞(Weingarten)公式。

最后从保圆几何的角度考察了几个已知的着名定理。系列篇的最后一篇讨论了特殊的《爱因斯坦空间》，探讨存在保圆变换的这类空间的结构，分别得出了数量曲率为正，为零或为负时的线素形式。

并指出二爱因斯坦空间的共形对应必定保圆。

这些系列论文表明，K．Yano是建立保圆几何的奠基人。

当然，在他之前对共形变换的研究也不乏其人，而对于在共形变换下M的对应的共形测地线可以是圆的事实，A．Fialkow于1938年就已经发现。而且他还明确指出，满足(3)的共形变换(2)是特别简单的，且具有有趣的几何特征。这些都在1939年发表的论文《共形测地线》中有记载。A．Fialkow把所得的有关结果分别作为该文的第6节和第8节中的主要定理之一。

并在文章的最后专辟整个第12节着重讨论了满足(3)的共形变换。证明确实存在着允许这种共形变换的一大类空间。至于对K．Yano的上述系列篇之五所涉课题的研究，则可追溯到更早。在1925年发表的文章中，H．W．Brinkmann讨论的就是彼此共形的爱因斯坦空间。

然而所得结果的分析意味较浓，因而K．Yano方感必须从保圆几何的角度去对此问题进行重新研究，以探讨彼此共形的爱因斯坦空间的几何性质。

保圆几何系列论文发表后，虽然有若干作者进行了各种后继研究，但都未对允许保圆变换的黎曼空间的结构作进一步的深入探索。直到60年代初，娄志渊部分地解决了这类空间的结构问题。在1962年发表的论文中，他研究了容许m个独立保圆变换的黎曼空间M，在假设对应的m族ρ－曲面彼此正交的条件下，导出了M的线素形式为(dx^a)²(a，b=1，…，n－m；α=n－m+1，…，n)，并证明它是这类黎曼空间的一个特征。

接着，白正国得到了更为深刻的结果。《数学学报》1964年发表了他的《存在若干独立保圆变换的黎曼空间》论文。

该文的贡献在于：①不附加任何其他的条件，完全解决了容有r个独立保圆变换的黎曼空间M的结构，除了导出M的线素形式外，还确定了保圆变换的函数ρ的解析表示式。②指出了M和有相同的保圆曲率张量不仅是共形变换(2)为保圆变换的必要条件，而且也是充分条件。

同时得到了(2)为保圆变换的另一充要条件是。③深化了对熟知的常曲率空间和爱因斯坦空间的认识，得出了关于常曲率空间的十分美妙的性质。

这一些工作对于保圆几何乃至微分几何的发展所起的作用无疑是实质性的。

上述所有这些研究都着眼于(2)中的函数ρ满足微分方程(3)的共形变换，而涉及的不变性质也仅是保持对应曲线具有圆的几何特征，这自然便产生了两类问题。

一是满足(3)的共形变换(2)除了使圆对应于圆以外，是否还有满足其他几何或物理性质的另外曲线相对应?二是有否满足其他条件的共形变换也能使保持某几何或物理性质的曲线相对应?如果这样的共形变换存在，是否也有相应于保圆几何系列论文中论述的那些结果?对此，李中林作出了完满的肯定回答，他在1987年和1991年发表的论文中，提出了“拟保圆变换”的概念。拟保圆变换是指(2)中的函数ρ满足微分方程

ρij=Ag_ij+Bξ_iξ_j(ξ，ξ〉=e (5)

的共形变换。

李中林导得了类似于保圆曲率张量的拟保圆曲率张量()证明共形变换(2)为拟保圆变换的充要条件是M和有相同的拟保圆曲率张量或其缩并张量。并由此推得：利用拟保圆变换可将拟常曲率空间或拟爱因斯坦空间分别变到拟常曲率空间或拟爱因斯坦空间；而生成元彼此对应的二拟常曲率空间，或基本元彼此对应的二拟爱因斯坦空间的共形变换就是拟保圆变换。

他还证明一个黎曼空间M存在拟保圆变换的充要条件是M容有一族正常的拟脐点超曲面，且其正交轨线为测地线。同时指出保圆变换是拟保圆变换的特款，而满足(6)的拟保圆变换(2)不为保圆的条件是。

此外他还定义了M中第二曲率k₂≡0，第一曲率为，t=f(s)，的曲线为椭圆，并建立了相应的微分方程，且证明：若M和之间存在着满足(5)的拟保圆变换(2)，则该变换将速度系中切方向为ρ_ij之主方向的每个椭圆变到速度系中的椭圆。同时他还发现保圆变换的新的性质：条件(3)是共形变换(2)将每个椭圆速度系变到椭圆速度系的充要条件，也是将每个圆速度系变到圆速度系的充要条件。

将这些结果与保圆几何已有的结果相比较，可见前者的相应工作把关于保圆变换和共形变换的研究推进了一大步。

由此可见K．Yano和白正国等对保圆几何的建立和发展作出了贡献，在几何学界立即引起了极大兴趣。继而许多作者便从不同方面对此概念进行了各种各样的探讨。例如T．Adati便证明了亚射影空间是容有保圆变换的共形平坦空间。

S．Ishihara和Y．Tashiro合作的论文《关于存在保圆变换的黎曼流形》于1959年发表。而M．Obata的《黎曼流形与球等距的某些条件》的主要结果也与方程(3)密切相关。

至于有关共形变换的研究文献更是多种多样。由此可见“保圆几何”概念的提出，不仅在当时对微分几何的研究起了推动的作用，而且对此后微分几何的发展也有深远的影响。

直到80年代乃至现今一些微分几何的概念都与“保圆”的概念有着千丝万缕的联系。特别对共形变换的进一步探讨已不仅是现代微分几何的一个重要课题，在当今的物理学界对此的研究也方兴未艾。

而讨论到“共形变换”，势必或多或少会涉及到保圆几何中的有关概念。因此，在这方面继续作深入的探索实在是极具开发价值的一件工作。

。【参考文献】：

1 Brinkmann H W. Math Ann, 1925,94; 119～145

2 Flalkow A. Trans Amer Math Soc, 1939,45:443～473

3 Yano K. Concircular geometry. I -V, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1940～1942

4 Ishihara S, Tashiro Y Math J Okayama Univ,1959,9:19～ 47

5 娄志渊．杭州大学学报(自然科学版)，1962，1：9～14

6 Obata M．J Math Soc Japan，1962，14(3)∶333～340

7 白正国，数学学报，1964；14(1)∶62～74

8 Adati T，Miyazawa T．Concircular vector fields and an almost paracontact structure．Tensor，1981，35；308～312

9 李中林．数学物理学报，1987，7(4)∶411～417

10 Li Zhonglin．Acta Math．Sci，1991，11(1)∶56～64

(杭州大学李中林教授撰；白正国审)