二元正态分布

出处：按学科分类—哲学、宗教 上海教育出版社《心理学大辞典上卷》第277页（539字）

一译“双变量正态分布”。

正态分布的一种。一元正态分布在二元情形下的推广。若(X₁，X₂)是二维随机向量，其联合密度函数为f(x₁，x₂)=·exp｛－［()²－2_ρ()()+()²］｝，(对一切－∞＜x₁＜+∞，－∞＜x₂＜+∞成立)，式中μ₁，μ₂，σ₁，σ₂，ρ是分布的五个参数，σ₁＞0，σ₂＞0，｜ρ｜＜1，则称(X₁，X₂)服从二元正态分布。二元正态分布的二个边际分布是两个一元正态分布，即f₁(x₁)=f(x₁，x₂)dx₂=e^－(x1－μ1)^2／，(对一切－∞＜x₁＜+∞)，f₂(x₂)=f(x₁，x₂)dx₁=e^－(x₂^－μ2)2／，(对一切－∞＜x₂＜+∞)，即X₁～N(μ₁，)，X₂～N(μ₂，)。

二元正态分布情况下，两个变量的独立性与相关性是等价的(注意，一般情况下，此结论未必成立)。因为X₁与X₂之间的相关系数ρ=，式中σ₁₂是X₁与X₂之间的协方差，即σ₁₂=(x₁－μ₁)(x₂－μ₂)f(x₁，x₂)dx₁dx₂。当ρ=0与σ₁₂=0是等价的，再由(X₁，X₂)的联合密度函数f(x₁，x₂)看出，若ρ=0，推出f(x₁，x₂)=f₁(x₁)·f₂(x₂)，即X₁与X₂相互独立，反之亦成立。