三种媒质中的垂直入射

出处：按学科分类—工业技术 企业管理出版社《计量专业工程师手册》第558页（3279字）

现在我们来讨论平面波由第一媒质通过第二媒质并到达第三媒质的情况。假定声波沿x方向传播，媒质Ⅰ与Ⅱ的分界面为OO′，位于x=O，媒质Ⅱ与Ⅲ的分界面为PP′位于x=l。如图11．2－7所示。假定各媒质的特性阻抗分别为ρ₁c₁，ρ₂c₂及ρ₃c₃。

图11．2－7 平面声波通过三种媒质两个界面的传播

媒质Ⅰ的入射波表为

(P_i)₁=P_i1e^j(ωt－k1^x) (11．2－37)

当它到达媒质Ⅰ与Ⅱ的分界面时，一部分能量反射回去，还有一部分透射至媒质Ⅱ。通过媒质Ⅱ以后，有部分能量自x=l处向x=0方向反射，同时又有一部分反射回去。这一反射部分与最初的透射到媒质Ⅱ的波是一致的，而折射部分与最初在界面OO′上的反射部分也是一致的。因此这一过程是重复的。在媒质Ⅱ中，经一定次数的来回反射以后，就达到最稳定状态，这时反射回媒质Ⅰ的能量加上透射到媒质Ⅲ的能量，应等于最初的入射能量。在这种稳定的条件反射回媒质的声波表示为：

(P_r)₁=P_r1e^j(ωt+k1^x) (11．2－38)

媒质Ⅱ中的透射及反射波分别为：

(P_t)₂=P_t2^j(ωt－k2^x) (11．2－39)

及 (P_r)₂=P_r2e^j(ωt+k2^x) (11．2－40)

而透射至媒质Ⅲ中的净波为：

(P_t)₃=P_t3e^j〔ωt－k3^(x－l)〕 (11．2－41)

必须注意，以上在媒质Ⅰ及Ⅱ中的位相和振幅，与最初在第一界面上的反射与透射的声波都不相同。

在x=0处，声压连续的边界条件为

P_i1+P_r1=P_t2+P_r2 (11．2－42)

质点速度连续的边界条件为

ρ₂c₂(P_i1－P_r1)=ρ₁c₁(P_t2－P_r2) (11．2－43)

仿此，在x=l处，声压连续的边界条件为：

P_t2e^－jk2^l+P_r2e^jk2^l=P_t3 (11．2－44)

质点速度连续的边界条件为

ρ₃c₃(P_t2e^－jk2^l－P_r2e^jk2^l)=ρ₂c₂P_t3 (11．2－45)

为了决定媒质Ⅲ中透射波的复数振幅P_t3，必须从以上四个方程中消去P_r1，P_t2及P_r2。为此联立(11．2－42)及(11．2－43)式，消去P_r1后得：

式中r₁₂=ρ₂c₂／ρ₁c₁。

同样地联立(11．2－44)及(11．2－45)式得

式中r₂₃=ρ₃c₃／ρ₂c₂

将上两式代入(11．2－46)式就得出

它可以化为

式中r₁₃=r₁₂·r₂₃=ρ₃c₃／ρ₁c₁。

复数比P_i1／P_t3的数值为入射波对透射波的声压振幅比值的量度，而它的相位角是表示在x=O处的入射波超前x=ι处透射波的相角值。从媒质Ⅰ通过媒质Ⅱ而到达媒质Ⅲ的声透射系数α_t为：

因复数值的平方等于其实数部分和虚数部分的平方和，故(11．2－50)式可表为：

故声透射系数就变为：

它有三种重要的特殊形式，即

①k₂l《1，即中间媒质层很薄时，有cosk₂l≈1，sink₂l≈0，于是(11．2－51)式就变为：

这与(11．2－20)式相当，它给出了声波直接从媒质Ⅰ到媒质Ⅲ的声透射系数。因此一很薄的夹层媒质，它对声波从媒质到另一介质传播的影响可以忽略不计。

②k₂l≈nπ

n为任意整数，有cosk₂l≈1，sink₂l≈0，得到与薄层的α_t同样的结果，不过要注意，这种厚夹层对声传播的无关性，只有当声波频率为f=nc₂／2l时，才是有效的。这是与薄夹层介质不同之点。后者只需，就对所有的频率都有效。

③k₂l≈(2n－1)π／2

n为任意整数，故有cosk₂l≈0，sink₂l≈1。因此(11．2－51)式变为

当r₁₂=r₂₃，即当时， (11．2－52)

α_t=1

这表示虽然是特性阻抗不同的媒质，声功率也可有百分这百的透射，只要夹层的特性阻抗为左右两者的几何平均值。

注意，这一效应是有选择性的，因为这只有当频率满足：

也就是当夹层的厚度等于

时才有效。

用四分之一波长厚的夹层可以得到100%的透射声功率。

复数P_i1／P_t3所决定的入射波与透射波的相差角由下式给出：

表明相位差只是由于kl，即声波通过媒质Ⅱ时，需要一些时间而引起。不过，在稳定的情况下，在界面x=0处，入射波与透射波之间也往往会有相位的变化。

【参考文献】：

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［5］GB 3785－83，声级计的电，声性能及测量方法

［6］GB 7341－87，听力计

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［9］OIML R102，声校准器

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