管导中的传播

出处：按学科分类—工业技术 企业管理出版社《计量专业工程师手册》第561页（3124字）

现在我们来讨论平面波在管导中的传播。假定管导中仍然有流体媒质，当声波的波长小于管导直径，则声波的传播就像在无限媒质内一样。但若波长大于直径，则直径的改变就像改变媒质的特性阻抗，将影响声波的传播。例如：管子的截面积有突变，就会有部分入射声波反射回去。同时，在截面积变化外，声波就向小管集中或向大管扩展，不再是平面波阵面。而离开该截面积适当距离以后，又大致回复到平面波。

11．2．9．1 截面积变化一次的管导中传播

讨论如图11．2－8所示的连接管导，假定声波由横截面积为S₁的第一管导，入射在横截面积S₂的第二管导头上。用前面曾用的足符表示这里的声波入射声压为：

图11．2－8 平面波在两管导的交界面上的透射和反射

P_i=P_ie^j(ωt^－kx) (11．2－55)

反射波及透射波的声压分别为：

P_r=P_re^j(ωt+kx) (11．2－56)

P_t=P_te^j(ωt－kx) (11．2－57)

注意到管中各点的媒质特性阻抗都为相等，故在分界面两侧的波常数k是一样的。

假定分界面的坐标为x=0，则声压的连续条件是：

P_i+P_r=P_t (11．2－58)

由于在交界面处没有流体的囤积，故第二个边界条件就由体积流量(或体积速度)的连续性代替质点速度的连续性。它在第一管中的任意点为S₁(U_i+U_r)；第二管中为S₂U_t。以U_i代替P_i／ρc，U_r代替P_r／ρc及U_t代替P_t／ρc，并用振幅表示。于是在x=0处，体积速度的连续条件为：

S₁(P_i－P_r)=S₂P_t (11．2－59)

联立(11．2－58)及(11．2－59)式消去P_t后得：

式中ξ₁₂=S₂／S₁，为两管导截面积之比值。

注意，若ξ₁₂＜1，则反射波没有位相的变比，与媒质改变的入射情况对照，大管到小管的传播效果，同对较稠密媒质的透射类似。同样的，小管到大管的传播，同从较稠密到较稀疏媒质的透射类似。

反射功率对入射功率的比值定义为功率反射率Wr

若以r₁₂代替ξ₁₂，则这表示式的右边与媒质不同的界面反射系数与(11．2－18)式一样。

透射波对入射波的复数振幅为：

故透射对入射的声强比为：

若S₁＞S₂，则透射声强大于入射声强，这是由于进入比较小的截面时，声波的压缩引起单位面积功率的增加。故功率透射率W_t为：

它不会超过1。并且与(11．2－20)式的形式相同。

必须指出。当S₁或S₂大于波长时，这些关系就不再适用，因为这时声波在管导中的传播性质不再受管子约束，就如在无边界的媒质中。

11．2．9．2 两个截面积的变化

图11．2－9中，长为l的管导连接在两个管导之间，解决这一问题的数学技巧可类似于在三种媒质中的传播，仿照(11．2－51)式，功率透射率为：

图11．2－9 平面波在三管导中的传播

式中ξ₁₂=S₂／S₁，ξ₁₃=S₃／S₁及ξ₂₃=S₃／S₂。同样的，第二管导的透射波与第一管导末端的入射波之间存在位相差：

上两式中有许多的实际应用。

例如：在两等相管导之间连接一段比较粗或比较细的管子，这就可以成为声学滤波器，假定ξ₁₃=1，ξ₁₂=1／ξ₂₃，

故(11．2－64)式就变为：

显然，在kl=nπ时，功率透射率W_t为最大值1。在kl=(2n－1)π／2时，W_t为最小值4ξ₁₂²／(ξ₁₂+1)²。这种滤波原理已成为现代汽车用消声器及无声手枪的消声基础。图11．2－10即表示这种滤波效应的曲线，它代表在半径为5厘米的管导中，接以长10厘米，半径为2．5厘米的管子的滤波器。曲线的数据是根据(11．2－66)式算出。并可与实验数值基本符合。以上公式的限制是声学滤波器的设计所必须遵守的。交接管的直径变化大，或者声波波长小于管子的直径都不能适用。同样，很细的管子由于阻尼力而引起的衰减很大，也不能适用。由(11．2－64)式可以看出，当交接管的截面积S₂=(S₁S₃)^1／2时，就得到由管S₁到管S₃的100%的透射，但这只有满足kl=(2n－1)π／2的频率才有效，故这简单的式子是选择连接管的限度。采用变化比较平滑缓慢的连接管，会在比较宽的频率范围内，都能得到接近100%的透射。

图11．2－10 简单的声学滤波器

【参考文献】：

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［5］GB 3785－83，声级计的电，声性能及测量方法

［6］GB 7341－87，听力计

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［9］OIML R102，声校准器

［10］JJG 188－90，声级计

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