几何法设计平面连杆机构

出处：按学科分类—工业技术北京出版社《现代综合机械设计手册中》第1912页（8609字）

3．1．1 刚体导引机构的设计

如图5．4-2所示，其中的S₄(A₁B₁C₁D₁)和S₂(A₂B₂C₂D₂)称为平面S(ABCD)的两个“有限分离”位置。当平面S从位置1作有限分离位移到位置2时，可视为是绕点P₁₂转动而获得的。P₁₂点是A₁A₂和B₁B₂(或C₁C₂和D₁D₂)的中垂线a12和b₁₂(或c₁₂和d₁₂)的交点，称该交点为平面S有限分离位移的转动极点，简称极点。由A₁、A₂、B₁、B₂、C₁、C₂、D₁、D₂各点与P₁₂点分别连线，则

图5．4-2 转动极点

∠A1P₁₂A₂=∠B₁P₁₂B₂=∠C₁P₁₂C₂=∠D₁P₁₂D₂=θ₁₂

θ₁₂是平面S绕P₁₂点由S₁转到S₂的转角。

如图5．4-3所示，为实现连杆平面S两个有限分离位置(S₁和S₂)的铰链四杆机构，P₁₂点为连杆平面两个有限分离位移的转动极点，则连架杆与机架的铰链中心O_A、O_B必分别位于中垂线a₁₃和b₁₂上．由图可见：

图5．4-3 等视角关系

则得等视角定理：转动极点对四杆机构两组互为对

面杆的铰链中心的视角分别相等或互为补角(参见图5．4-4)．

图5．4-4 连杆两个位置的设计

连杆两个位置的设计如图5．4-4所示，其设计步骤如下：

① 由连杆的两个给定位置A₁B₁和A₂B₂求出转动极点P₁₂和半角θ₁₂／2(简称∠P₁₂)。

② 令∠P₁₂绕转动极点P₁₂转出两个位置C₁P_12c12和D₁₂P₁₂d₁₂，并在这两个位置的相应边上，分别任意选取两连架杆连接连杆的铰链中心C₁、D₁和连接机架的铰链中心O_c、O_D，则C₁O_cO_DD₁即为所求四杆机构的简图。当杆CO_c从C₁Oc转到C₂O_c时，连杆平面ABCD就从给定位置A₁B₁C₁D₁达到A₂B₂C₂ D₂。这类设计问题有无穷多解。

连杆三个位置的设计如图5．4-5所示，其设计步骤如下；

图5．4-5 连杆三个位置的设计

① 任选连杆平面的一个位置作为参考位置，例如第1位置A₁B₁。

② 由连杆的三个给定位置A₁B₁、A_tB₂、A₃B₃，求出转动极点P₁₂、P₁₃和半角θ₁₂／2、θ₁₃／2(简称∠P₁₂、∠P₁₃——这一步骤未在图中画出)。

③ 在连杆平面上任选一点，为C₁，令∠P₁₂和∠P₁₃分别绕转动极点P₁₂和P₁₃转动，使P₁₂c₁₂边和P₁₃c₁₃边交于C₁点，则得边P₁₂c₁₂和P₁₃c₁₃的交点Oc。

④ 再选一点D₁，用同样方法求出其相应点O_D。O_cC₁D₁O_D即为所求机构在第1位置的简图。显然，当连杆平面上的C₁D₁通过C₁D₁、C₂D₂和C₃D₃位置时，其上的A₁B₁线通过A₁B₁、A₂B₂和A₃B₃。

因为C₁和D₁都是任选的，故有无穷多解。

连杆四个位置的设计如图5．4-6所示，其设计步骤如下：

图5．4-6 连杆四个位置的设计

① 选定连杆平面的参考位置，例如第1位置。

② 方法同前，求出P₁₂的位置和∠A₁₂P₁₂a₁₂=θ₁₂／2；P₁₃的位置和∠A₁₃P₁₃a₁₃=θ₁₃／2；P₁₄的位置和∠A₁₄P₁₄a₁₄=θ₁₄／2。为避免图面线条过密，图中未画出连杆平面的四个位置，仅表示出转动极点P₁₂、P₁₃、P₁₄及半角θ₁₂／2、θ₁₃／2、θ₁₄／2。

③ 令P₁₂A₁₂、P₁₃A₁₃、P₁₄A₁₄一组线交于一点，在一般情况下，则另外三边形成的一组线不会交成一点，如图a)所示。如把半角∠P₁₃、∠P₁₄分别绕各自的转动极点P₁₃、P₁₄转动，改变第一组线交点的位置，则第二组线的三个交点就会分散或靠近。从而，总可找到一个位置使两组线同时各自都有一个交点，如图b)中的A1点，称为圆周点(简称圆点)，以及OA点，称为圆心点(简称圆心)。这样，就在参考位置上确定了一个圆点A₁和相应点圆心O_A。

④ 改变∠P₁₂的位置，同样可确定一对相应的圆点和圆心。连续改变∠P₁₂的位置，便可得到一系列的圆点和圆心。把一系列圆点连成曲线，称圆点曲线，以K1表示(圆点曲线的形状参见图5．4-7)；由圆心连成的曲线，称圆心曲线，以M₁₂₃₄表示。在K₁上任选两圆点，如A₁、B₁，作为连杆的铰链中心，用等视角关系找出相应的圆心O_A、O_B作为机架的铰链中心，即可求得所需的机构，可有无穷多解。

圆点曲线是在连杆平面上的平面曲线，它随所取连杆平面参考位置不同而异。以上圆点是在第一位置作出的，故以K₁表示。如以连杆平面的第二位置作为参考位置，则应求出转动极点P₂₁、P₂₃、P₂₄和半角∠P₂₁=θ₂₁／2、∠P₂₃=θ₂₃／2、∠P₂₄=θ₂₄／2，且求出的圆点曲线应以K2表示。圆心曲线是在机架平面上的平面曲线，不随连杆平面的参考位置而异，而且只有一条。作圆点曲线和圆心曲线时，可用透明纸做出半角∠P₁₂、∠P₁₃和∠P₁₄的样板，各样板上分别注明符号2P₁₂、A₁₂、a₁₂，P₁₃、A₁₃、a₁₃，P₁₄、A₁₄、a₁₄，再用图钉将样板上的半角顶点P₁₂、P₁₃、P₁₄揿按在图纸的相应的转动极点上，转动样板，使三个样板所形成的两组直线(P₁₂A₁₂、P₁₃A₁₃、P₁₄A₁₄为一组，P₁₂a₁₂、P₁₃a₁₃、P₁₄a₁₄为另一组)各自有一交点(这相当于在图b中使两组线分别交于A₁点和O_A点)。

例如，如图5．4-7所示，已知四杆机构O_AA₁B₁O_B，设计一带近似停歇的六杆机构，其主动杆O_AA₁转ΦT角时，从动杆O_DD₁近似停歇，O_DD₁的摆角为ψ。首先，在ΦT区间选择主动杆O_AA₁的铰链中心A₁的四个位置A₁、A₂、A₃、A₄，并求出铰链中心B₁的四个对应位置B₁、B₃、B₃、B₄。根据连杆的四个位置A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃、A₄B₄可求出圆点曲线K₁(K₁必通过A₁和B₁点)，并在K₁的适当位置选定一点C₁，求出与其相应的圆心点D₁。然后，以C₁D₁为杆长，将杆C₁D₁分别与连杆A₁B₁C₁和从动杆O_DD₁铰接。当主动杆转角时，由于连杆的C₁点的轨迹近似圆弧，故从动杆O_DD₁就近似停歇。最后，根据所要求的从动杆的摆角ψ和传动角γ确定O_D的位置，从而也就确定了从动杆O_DD₁的长度。

图5．4-7 带近似停歇的六杆机构

连杆五个位置的设计与四个位置的设计解法相同。由于连杆多了一个位置，因此还应求出转动极点P₁₅的位置和半角∠A₁₅P₁₅a₁₅=θ₁₅／2，再用上述样板法试凑，使四个半角两边所形成的两组线(P₁₂A₁₂、P₁₃A₁₃、P₁₄A1₄、P₁₅A₁₅为一组，P₁₂a₁₂、P₁₃a₁₃、F₁₄a₁₄、P₁₅A₁₅为另一组)各自都有一交点。设A₁、O_A分别为前后两组线的交点，则A₁点就是圆点，O_A点就是相应于圆点A₁的圆心。连杆平面五个位置的圆点称为“布尔梅斯特n点，其相应的圆心称为“布尔梅斯特”圆心。这种圆点或圆心也可由两条四个位置的圆点曲线或圆心曲线(如1、2、3、4位置和1、2、3、5位置)的交点求得。图5．4-8所示即为由两条圆心曲线的交点求布尔梅斯特圆心的示例。图中两曲线的不与转动极点相重合的交点，即为所求的布尔梅斯特圆心。这种圆心可以有四个，也可以只有两个，或者没有。当两条圆心曲线有四个交点时，如图中的O_A、O_B、O_c、O_D，可得到六个四杆机构，即O_AABO_B、O_AACO_c、O_AADO_D、O_BBCO_c、O_BBDO_D及O_cCDO_D。如只有两个交点，则只有一个四杆机构。无交点时，就没有解。

图5．4-8 连杆五个位置的设计

3．1．2 传动机构的设计

相对转动极点示于图5．4-9。在图a)中，两连架杆O_AA、O_BB由位置1运动到位置2的对应角位移，分别为φ₁₂和ψ₁₂，且均按顺时针方向转动。根据相对运动转换原理，以O_AA₁为参考位置，则O_BB相对于O₁A₁的第一个位置，即为O_BB₁，而O_BB相对于O_AA_A的第二个位置。是令O_AA₂R₂O_B为一刚体，绕O_A反转φ₁₂角，使O_AA₂与O_AA₁重合(即作四边形)而获得的。分别作和的中垂线，其交点R₁₂即为O_BB相对于O_AA₁运动的相对转动极点。图中(=)是O_BB相对于O_AA₁运动的角位移，且等于ψ₁₂－φ₁₂，因而

图5．4-9 相对转动极点

利用上述角的关系，可简便求得R₁₂的位置。如图b)，以O_A、O_B为顶点，按与角位移相反方向从O_AO_B线起，分别作φ₁₂／2、ψ₁₂／2的角度线O_AR₁₂、O_BR₁₂，其交点即为相对转动极点R₁₂。

同向转动的两连架杆的一对对应角位移的设计如图5．4-10所示。已知机架铰链中心O_A、O_B的位置，对应角位移为φ₁₂、ψ₁₂。其设计步骤是：先用φ₁₂／2、ψ₁₂／2值求出相对转动极点R₁₂，过R₁₂点任作直线R₁₂A₁₂、R₁₂B₁₂，使∠A₁₂R₁₂B₁₂=∠O_AR₁₂O_B=(ψ₁₂－φ₁₂)／2=β，再在R₁₂A₁₂、R₁₂B₁₂上分别任选一点A1和B1作为连杆的两个铰链中心，则O_AA₁B₁O_B即为所求四杆机构在第一位置时的运动简图，其两连架杆作同向转动。若需两连架杆异向转动，在选取A₁、B₁点时，应使A₁、B₁的连线与O_AO_B交在O_AO_B的中间，如图5．4-11所示。由于∠A₁₂R₁₂B₁₂及A₁、B₁的位置都可以任意选择，故有无穷多解。

图5．4-10 两连架杆的一对对应角位移(同向转动)的设计

图5．4-11 两连架杆的一对对应角位移(异向转动)的设计

两连架杆的两对对应角位移的设计如图5．4-12所示。已知机架铰链中心O_A、O_B的位置及两连架杆的两对对应角位移φ₁₂、ψ₁₂和φ₁₃、ψ₁₃，其设计步骤是：先用φ₁₂／2、ψ₁₂／2以及φ₁₃／2、ψ₁₃／2值分别求出相对转动极点R₁₂和R₁₃，然后作∠A₁₂R₁₂B₁₂=∠O_AR₁₂O_B=(ψ₁₂－φ₁₂)／2，∠A₁₃R₁₃B₁₃=∠O_AR₁₃O_B=(ψ₁₃－φ₁₃)／2，并令边R₁₂A₁₂和R₁₃A₁₃通过任选的铰链中心A₁，则R₁₂B₁₂和R₁₃B₁₃的交点即为另一铰链中心B₁的位置。由于A₁是任选的，故有无穷多解。

图5．4-12 两连架杆两对对应角位移的设计

两连架杆的三对对应角位移的设计如图5．4-13所示。由于两连架杆的对应角位移只与各杆的相对长度有关，所以机架的铰链中心O_A、O_B可以任选。在确定三个相对转动极点R₁₂、R₁₃、R₁₄后，即可作作三个半角的样板：∠A₁₂R₁₂B₁₂=∠O_AR₁₂O_B=(ψ₁₂－φ₁₂)／2；∠A₁₃R₁₃B₁₃=∠O_AR₁₃O_B=ψ₁₃－φ₁₃／2；∠A₁₄R₁₄B₁₄=∠O_AR₁₄O_B=(ψ₁₄－φ₁₄)／2。将各样板的顶点绕各自的相对转动极点转动，经过试凑，使三个样板角两边所形成的两组直线(R₁₂A₁₂、R₁₃A₁₃、R₁₄A₁₄为一组，R₁₂B₁₂、R₁₃B₁₃、R₁₄B₁₄为另一组)同时各有一交点，从而确定A₁和和B₁的位置，求出所需的机构。改变样板的位置，可以得到相对的圆点曲线(通过O_B点)和圆心曲线(通过O_A点)，故仍有无穷多解。

图5．4-13 两连架杆的三对对应角位移的设计

两连架杆四对对应角位移的设计的方法与三对的相同。可先选定机架铰链中心O_A、O_B，再确定四个相对转动极点R₁₂、R₁₃、R₁₄、R₁₅的位置和四个角度样板∠A₁₂R₁₂R₁₂、∠A₁₃R₁₃B₁₃、∠A₁₄R₁₄B₁₄、∠A₁₅R₁₅B₁₅，然后用试凑法求出连杆铰链中心A₁和B₁。除O_A和O_B外，还可能有三对交点，或者是一对，甚至没有。因此，要求实现四对对应角位移或近似实现连续函数时，应预先判断其可能性。

图5．4-14所示为曲柄滑块机构两连架杆的对应位移的设计。已知要求曲柄转角为φ₁₂时，滑块的相应位移为s₁₂。其设计步骤是：首先确定连接曲柄与机架的铰链中心O_A的位置和滑块导路的方位。其次求曲柄和滑块的相对转动极点R₁₂。由于滑块作直线运动，故其回转中心O_B在垂直于滑块导路方向的无穷远外(见图a)。令以O_A为顶点，O_AO_B为底边，按φ₁₂的反方向作φ₁₂／2的角度线O_AR₁₂；同时，从点O_A向s₁₂的反方向量取s₁₂／2，并作垂直于导路方向的直线mn，两者的交点即为相对转动极点R₁₂。最后，过R₁₂任意作∠A₁₂R1₂B₁₂=∠O_AR₁₂OB，分别在R₁₂A₁₂和R₁₂B₁₂线上各选一点A₁和B₁，则O_AA₁B₁即为能满足φ₁₂和s₁₂的曲柄滑块机构在第一位置的简图。

图5．4-14 曲柄滑块机构两连架杆的对应位移的设计

3．1．3 导向机构的设计

极曲线及其几何特性如图5．4-15所示。O_AA₃B₃O_B为一曲柄摇杆机构，曲柄圆分为18等份。当铰链A₃依次转到A₁、A₂、……、A₁₈位置时，铰链B₃相应运动到B₁、B₂、……、B₁₈位置。在连杆上取E₃和F₃点，则描绘出封闭的连杆曲线e和f。显然，当A₂在A₁、A₂、……、A₁₂位置时，连杆E₃F₃便构成连续的位置列E₁F₁、E₂F₂、……、E₁₈F₁₈。根据转动极点的概念，对于连杆位置列中的每两个位置都可以看成是连杆的两个“有限分离”位置，因此可以求出其转动极点：E₃F₃和E₁F₁作E₃E₁和F₃F₁的中垂线e_3．1和f_3．1，得转动极点P_3．1；E₃F₃和E₂F₃作E₃E₂和F₃F₂的中垂线e_3．2和f_3．2，得转动极点P_3．2；……；E₃F₃和E₁₈F₁₈作E₃E₁₈和F3F₁₈的中垂线e_3．18和f_3．18，得转动极点P_3．18。把转动极点P_3．1、P_3．2、……、P_3．18连成平滑曲线，便为极曲线(或称转动极点曲线)。由于它们是以连杆第3位置E₃F₃作为参考位置，而以其他位置E₁F₁、E₂F₂、……、E₁₈F₁₈为转动后的位置，故又称为参考位置E₃F₃的极曲线P_3．n(注脚“3”表示参考位置，“n”表示转动后的位置数，即n=1、2、……、18)。

图5．4-15 极曲线

应该指出，极曲线的形状和位置，与参考位置的选择有关。如图5．4-16所示，从曲柄摇杆机构O_AA₃B₃O_B的连杆位置列E_nF_n中，选择E₁F₁、E₃F₃、E₇F₇、E₁₂F₁₂、E₁₅F₁₅等五个位置为参考位置，则可相应画出五条极曲线P_1．n、P_3．n、P_7．n、P_12．n、P_15．n。虽然这五条极曲线的形状和位置不同，但有其如下的几何特性：1．在曲柄摇杆机构中，不论连杆位置列的极曲线以哪一位置为参考位置，都通过摇杆的固定铰链中心O_B点；2．每条极曲线必分别通过对应位置的摇杆活动铰链中心B点。如图5．4-16所示，取连杆位置列中的第三位置为参考位置，则其极曲线P_3．n必通过其对应的摇杆活动铰链中心B3点。