操作手的逆运动学问题

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册中》第2086页（1196字）

这里以Stanford机器人为例，说明逆运动学问题的解法。

Stanford机器人的D-H变换矩阵为(参见图5．13-33)：

关节变量为θ₁、θ₂、d₃、θ₄、θ₅和θ₆。把六个矩阵连乘，得臂矩阵

上式两边右乘，得

上式两边表示第五杆系相对于基座坐标系的位置和方位。第五杆系的原点W的齐次坐标是(5．13－22)式两边合成矩阵的第四列。由于第三、四、五杆系的原点是重合的，因此W点的齐次坐标在以后的变换中不变。现再以⁰A1¹左乘(5．13-22)式两边，得

上式两边表示第五杆系相对第一杆系的位置和方位。合成矩阵的第四列是W点在第一杆系中的齐次坐标。设拟求如图5．13-36所示Stanford机器人位形的逆运动学问题。从图中看出，W在第一杆系中的坐标为

图5．13-36 求Stanford机器人的逆运动学解

求逆运动学问题时臂矩阵T的各元素是已知的。由的第四列得W点在定系中的坐标为

再从(5．13－23)式右边合成矩阵和的第四列得W点在第一杆系中的坐标为

由第三式得 。

设，于是，

解得t，并求出

由第一、二式得／ (5．13－28)

由第一、二式的平方和得

θ₁有双解，θ₂因θ₁有双解而有双解，d₃总大于零，因此负号无意义。下一步求θ₄、θ₅和θ₅。设：

由于θ₁、θ₂和θ₃已知，由此计算出T₁，再由(5．136)式计算。T是给定的，故由(5．13－30)式可计算出T₂的诸元素的数值。由于r₂=³A₄⁴A5⁵A₆，左乘：，得 (5．13－31)

从(3，3)元素相等，得

由(1，3)和(2，3)元素相等，得

由(3，1)和(3，2)元素相等，得

如果θ₄、θ₅和θ₆都能旋转360°，则θ₄、θ₅和θ₆有双解，其间的关系为