线性方程组

出处:按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第20页(1938字)

6.2.1 含n个未知量n个方程的线性方程组解法

含n个未知量n个方程的线性方程组

当常数项b1,b2,…bn不全为零时,I称为非齐次线性方程组;当b1,b2,…bn全为零时,I称为齐次线性方程组。

则线性方程组Ⅰ可写成矩阵形式Ax=b。

逆矩阵解法:当|A|0时,线性方程组Ⅱ的解为x=A-1b,式中A-1是系数矩阵A的逆矩阵,x称为Ⅱ的解矢量。

克莱姆法则:若|A|0,则方程组Ⅰ的解为

式中 △1,△2,…,△n分别为以常数项矢量b代换系数矩阵A中第i列矢量后得到的n阶行列式。

工程中常用的有如下近似解法:

一是高斯消去法(主元素消去法),对于n阶线性方程组

消元求解的步骤为:

①在系数矩阵中找出绝对值最大的元素(主元素),一般设a11为主元素(可换位获得)。将第一个方程乘以-,分别与第t个方程相加,得到新

的n阶线性方程组。

②在除第一行外的系数矩阵找出主元素,一般设b22为主元素,再将第二个方程乘以-

别与第i个方程相加(i=3,4,…n),得到新的n阶线性方程组。

③按照①、②的方法进行n-1次以后,消元过程结束,原来的系数矩阵已经化为上三角矩阵(未知量的次序也经过了若干次调换)。

④由第n个方程解出xn。将xn代入第n-1个方程,解出,…,最后将已解出的x2,x3,…,xn代入第一个方程解出x1。

二是赛德尔迭代法。其一般步骤为:

①将线性方程组

②任选一组初始值x1(0)),x20)0),…xn(0)作为方程的第0次近似解。

③依次使k=1,2,3…,用公式

求出方程的第k次近似解,直到满足给定精度ε为止。

三是松弛迭代法。其基本步骤与第二种方法相同,只是把其中的第③步的迭代公式改为

6.2.2 线性方程组有解的判别定理

对于含n个未知量m个方程的线性方程组,以r(A),r(C)分别表示系数矩阵A和增广矩阵C的秩,则:

当m=n且r(A)=r(C)=n(或|A|0)时,方程组有唯一解。

当r(A)<r(C)时,方程组无解,称为矛盾方程组。

当r(A)=r(C)=r<n(或|A|=0)时,方程组有无穷多组解。

齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)<n,即|A|=0。

6.2.3 线性方程组的解的结构

当r(A)=r<n时,齐次方程组Ax=0的任一非零解x=(x1,x2,…,xn)t都可用它的n-r个线性无关解x(1)=(,…,)r(i=1。2,…,n-r)的线性组合来表示。这n-r个线性无关解称为方程组的基础解系,它不是唯一的。

设x(0)=(,…,)r是线性方程组Ax=b的一个特解,则它的任一解x=(x1,x2,…xn)r都可表示为x=x(0)+η。其中η=(,…,)是它相应的齐次方程组Ax=0的一个解。

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