基本概念

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第94页（6783字）

1．1．1 内力与内力图

由于外力作用，在杆件的各部分之间引起的相互作用力，称为内力。

一般情况下，内力有六个分量，如图1．3－1，它们分别对应着某种基本变形。其中有：

图1．3－1 杆截面上的内力分量

轴力(N)，是与杆件的伸长、缩短变形有关的内力；

剪力(Q_y，)，是与杆件的剪切变形有关的内力；

扭矩(M_T)，是与杆件扭转变形有关的内力；

弯矩(M_y，M_z)，是与杆件弯曲变形有关的内力。

截面法是求内力的方法，其求解步骤可概括为；

切——沿欲求的截面，假想地将杆件切分为二；

代——选其中一部分为研究对象，以内力代替去掉部分外力对保留部分的作用；

平——分析研究对象在内力、外力作用下的平衡，通过求解平衡方程得出截面内力。

内力方程和内力图 一般情况下，内力随截面位置(坐标x)改变而变化，变化规律的函数表达式，即为内力方程。例如：

轴力方程：N(x)=x截面一侧所有外力沿x投影的代数和；

扭矩方程：M_f(x)=x截面一侧所有外力对x轴之矩的代数和；

剪力方程：Q(x)=x截面一侧所有外力沿y轴(或z轴)投影的代数和；

弯矩方程：M(x)=x截面一侧所有外力对过截面形心的y轴(或z轴)之矩的代数和。

用坐标系描绘内力方程的函数图象，即为内力图，如轴力图、扭矩图、剪力图和弯矩图。关于内力的正负规定、内力方程和内力图的典型举例见表1．3－1。

表1．3－1 内力方程、内力图举例

利用弯矩M、剪力Q和分布载荷集度q间的微分关系

也可校核或绘制剪力图和弯矩图。

工程中常利用叠加法画内力图。当构件上作用若干载荷时的内力图(同一类别的内力)。等于每个载荷单独作用时内力图的叠加。通常利用叠加法绘制多种载荷作用下梁的弯矩图。如图1．3－2，悬臂梁AB上作用集中力偶M₀和均布载荷q时，其弯矩图应为二载荷单独作用时弯矩图的叠加。

图1．3－2 梁弯矩图的叠加

1．1．2 材料的机械性质

材料的机械性质。主要是指材料在外力作用下表现出来的变形和破坏时的特性。工程上是通过常温、静载下的拉伸和压缩试验测定的。

(1)杆件在拉伸和压缩时的应力和变形

杆件在拉伸(或压缩)时，其横截面有均布的正应力

式中 σ为正应力(1Pa=1N／m²)；N为横截面上的轴力(N．kN)；A为横截面面积。

杆件在拉伸(或压缩)(图1．3－3)时，沿轴向的变形称纵向变形，△l=l₁－l．由试验知，在弹性范围内，△l与杆长l、轴力N、横截面面积A存在如下关系

式中 E为材料的弹性模量，各种材料的弹性模量见本篇第十章。

图1．3－3 拉压杆的变形

单位长度的变形，称为相对变形或称线应变，用ε表示，即

ε拉伸时为正，压缩时为负，为无量纲量。

沿杆件横向产生横向线应变，用ε′表示。横向线应变与纵向线应变存在如下关系

ε′=－μe

式中 μ为横向变形系数，又称泊松比。各种材料的μ值见本篇第十章。

(2)低碳钢拉伸时的机械性质

如图1．3－4，标准试件尺寸为：

图1．3－4 拉伸标准试件

圆试件(图a)；l=10d或l=5d

式中 l为标距，试件的工作段长度；d为试件横截面直径。

平板试件(图b)：或

式中 A为试件横截面面积。

低碳钢在拉伸时可测得P－△l曲线，如图1．3－5(a)所示，称为拉伸图，将纵坐标P除以试件横截面面积A，将横坐标△l除以标距l，即得σ－ε曲线，称为应力－应变图，如图1．3－5(b)所示。

图1．3－5

a)低碳钢试件的拉伸图

b)应力应变图

低碳钢拉伸时的机械性质概括列于表1．3－2。

表1．3－2 低碳钢拉伸时的机械性质

(3)低碳钢压缩时的机械性质

压缩时与拉伸时比较，有如下异同：

①压缩时弹性模量E、比例极限、屈服极限σ_，均与拉伸时相同；

②压缩试件越压越扁，无强度极限。

(4)铸铁拉压时的机械性质

铸铁与低碳钢在拉压时进行比较，有如下特点：

①无屈服和颈缩现象，故其强度指标为强度极限；

②铸铁拉伸沿试件横截面拉断，压缩则沿大约45°斜截面破坏；

③压缩强度极限()c约高于拉伸强度极限()T3～4倍。

(5)其他材料拉伸时的机械性质

如图1．3－6。各种钢材的弹性模量E大致相同，E=190～220GPa。16Mn钢的σ～ε曲线与Q235钢类似，有明显的屈服现象，≈270～340MPa。有些材料则没有屈服阶段，用名义屈服极限σ_o．2代替σ8。

图1．3－6 几种常用材料的应力应变图

1．1．3 强度条件与刚度条件

(1)极限应力、许用应力和安全系数

极限应力σu 塑性材料σ_u=σ_s(或σ_o．2)

脆性材料σ_o=σ_b

许用应力，塑性材料或；

脆性材料

选定安全系数时，必须考虑到材料的均匀性、估载的准确性、计算简图与实际受力结构的差异以及构件的重要程度、工作条件等因素。一般静载时，塑性材料s=1．2～2．5；脆性材料s=2～3．5。当构件受动载荷或载荷难以确定时，塑性材料还需将s增大1．15～1．5倍，脆性材料将s增大1．5～2．0倍。

(2)强度条件

当构件危险点为单向应力状态时，其强度条件为 σ_max≤〔σ〕

当构件危险点为纯剪切应力状态时，其强度条件为 τ_max≤〔τ〕

当构件危险点为复杂应力状态时，其强度条件为 σ_ea≤〔σ〕

式中 σ_ea为相当应力，详见本章1．1．4。

(3)刚度条件

构件在弹性范围内，其最大变形(位移)必须不大于构件的许可变形(位移)，即

△_max≤〔△〕

式中 △_max为构件工作时的最大(广义)位移，相当于拉压杆的△l_max、扭转轴的扭转角θ_max和梁的挠度f_max以及转角θ_max；〔△〕为许用(广义)位移。

1．1．4 应力状态与强度理论

(1)应力状态的概念与分类

一点的应力状态：指过杆件任一点所有截面上应力变化情况，通常以围绕该点的单元体受力情况加以研究。

主平面与主应力：主平面即单元体中剪应力等于零的截面；主平面上的正应力称主应力。一般情况下，一点单元体只有三个(相互正交)主平面和三个主应力，按代数值排列，σ1≥σ2≥σ3

分类：按主应力不为零的个数分为单向应力状态、二向(平面)应力状态和三向(空间)应力状态。工程实例见表1．3－3。

表1．3－3 应力状态举例

剪应力互等定理：τ=τ′。

应力状态举例见13．3。

(2)平面应力状态的应力计算公式解析法。单元体受力如图1．3－7所示。

图1．3－7 单元体应力图

斜截面应力

说明：①这里斜截面是指垂直主平面abcd的截面：②a自x轴逆时针转向为正，反之为负。

主应力及其方位角

说明：①， 和σ=0按代数值排出σ₁，σ₂，σ_s；②a。有两个值：a₀₁、a₀₂=a_o1+90°

剪应力极值及其方位角

说明：①这里τ_max、τ_min是指在垂直xy平面的所有斜截面中，剪应力的最大值和最小值；②β为τ_max作用面法线与x轴的夹角。

图解法(应力圆)

应力圆画法：设单元体σ_x、σ_y和τ_x均已知，如图1．3－8所示，画该单元体应力圆的步骤为：

图1．3－8 应力圆

取坐标系：在0στ坐标中，σ为横轴，τ为纵轴，选好比例尺。

定特征点：A_x(σ_x，τ_x)和A_y(σ_y，τ_y)，注意σ_x，σ_y，τ_x和τ_y的正负。

确定圆心：连Ax和Ay交横轴于C点，即为应力圆圆心。

作应力圆：以C为圆心，以CD_x为半径作圆，即为所求。

利用单元体和应力圆的点面对应关系，很容易求出任意斜截面的应力(σ_a，τ_a)和主应力σ₁、σ₂和σ₃。

(3)三向应力状态的应力圆

已知三个主应力σ₁、σ₂、σ₃，则很容易画出三向应力圆，如图1．3－9所示，由应力圆可知，单元体中

图1．3－9 三向应力圆

(4)广义虎克定律

在线弹性范围(σ≤σp)内，复杂应力状态下的应力、应变关系如表1．3－4。

表1．3－4 广义虎克定律

(5)几种常用的强度理论见表1．3－5。

表1．3－5 强度理论及其适用范围

1．1．5 截面图形的几何性质

(1)静矩、惯矩、惯积和极惯性矩

任意截面图形如图1．3－10所示。其定义与性质见表1．3－6，工程中常见截面的几何性质见表1．3－7。

图1．3－10 任意截面图形

表1．3－6 静矩、惯矩、惯积和极惯性矩的定义与性质

注：①截面对正交轴x0_，y₀的惯积I_x0y0=0，则x₀y₀为主惯轴；过形心的主惯轴，称形心主惯轴。②截面对主惯轴的惯矩称主惯矩；截面对形心主惯轴的惯矩称形心主惯矩。惯轴的惯矩称主惯矩；截面对形心主惯轴的惯矩称形心主惯矩。

表1．3－7 常用截面几何性质计算公式

(2)惯矩、惯积的平行轴公式

截面图形如图1．3－11所示，其截面积为A₀x₀，y_o为形心轴，x，y为x₀，y₀的平行轴，a、b为截而形心在oxy坐标系的坐标，则有

图1．3－11 截面图形对平行轴的惯矩

(3)惯矩、惯积的旋转轴公式截面图形如图1．3－12所示。

图1．3－12 截面图形对旋转轴的惯矩

主惯轴位置与主惯矩

式中Ⅰ_max和Ⅰ_min为二主惯矩，与Ⅰ_xo、Ⅰ_yo二者相对应，至于对哪轴的主惯矩为最大值，由具体情况而定。