球的体积

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第102页（2283字）

如果球的半径是R，那么它的体积是V_球=4/3πR³．

例1 证明 用一平面去截一个球，截面是圆面．

策略 分截面过球心和截面不过球心两种情况来考虑．

证明 设球的半径是R，下面分两种情况来研究．

(1)设平面α与球面相交，如果点O∈α(如下面(1))设A是球面和平面α的交线上的任意一点．

(1)

(2)

∵A在球面上，∴OA=R，∴A在平面α内以O为圆心，R为半径的圆上．反过来，如果B是这个圆上的任意一点．

∵OB=R，∴点B在球面上，点B在球上，又在平面α内，就是说点B在平面α和球面的交线上，因此，平面α和球O的截面是一个圆面．

(2)如果点(如上图(2))自点O作OK上α垂足为K．

设A是平面α和球面交线上的任意一点连接AK，

∵OK⊥α∴OK⊥AK

∴点A在平面α内，以K为圆心，为半径的圆上，反过来，如果B是这个圆上的任意一点，那么BK=，OB²=OK²+KB²=R²．

OB=R，即B在球O的球面上．

点B在平面α内，又在球O的球面上，那么点B就在它们的交线上．

因此，平面α截球O的截面是一个圆面．

点评 我们知道了球的截面是圆面后，就可把球的有关问题转化成圆的有关问题来解决．

例2 求棱长均为a的正三棱锥的内切球的半径．

策略 关键在于选择适当的过球心的截面，自然应当作集中球及正三棱锥各元素的截面——过棱锥一侧棱和球心的截面．

解 如上图所示，过三棱锥的侧棱PA和球心O的截面为PAD，则球心O在高PO₁上，⊙O与PD、AD分别相切于E、O₁，连OE，则OE⊥PD，由△POE～△PDO₁，得=，即，解得．

点评 处理组合体问题，应选择适当的截面，使有关的基本元素都集中在这个平面上，将立体几何问题转化为平面几何问题．

例3 已知正方形．ABB₁A₁边长为18，形内有一点P与AA₁、A₁B₁边的距离都是4，Q点与AB、BB₁的距离都是2，将此正方形卷成一个圆柱形筒，使A₁B₁与AB重合，求P、Q两点间的距离．

策略 弄清折卷前后对应元素的变化情况，如果难以想像，可以利用纸片实验折卷过程．

解 如图(3)，的长即图(1)中，QM+M₁P′=6，圆的半径∴．

故P、Q两点间的距离在折卷后为

(1)

(2)

(3)

点评 本题是折卷问题，相反的过程则是铺展问题，所以我们不难得出如下结论——圆柱的侧面可以被铺展为矩形，这个矩形的长等于圆柱底面圆的周长，宽等于圆柱的高，这个矩形的面积就是圆柱的侧面积，所以圆柱的侧面积等于圆柱底面圆的周长乘以圆柱的高，即S_圆柱侧=2πrh(其中r为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高)．

对于折卷与铺展问题，必须明确折卷、铺展前后点、线、面的关系哪些变了，哪些没有变，而找准不变的关系往往是解决问题的关键，对于立体几何与代数、三角、解析几何等知识的综合应用问题，要注意利用二次函数，重要不等式，三角函数的变换和三角函数的有界性等知识解决立体几何中的最值问题，对于实际应用问题，要注意从实际中挖掘隐含条件，增强解决问题的条件支持．

例4 用一正三棱柱形木料加工成一半径为cm木球，此棱柱的体积最少应有多少cm³?

解 根据题意，棱柱为木球的外切三棱柱时，棱柱体积最小．

此时，棱柱的高为，棱柱的底面是半径为的圆的外切正三角形，其边长为

∴棱柱的体和最少应是54cm³