微分方程

出处：按学科分类—经济 山东人民出版社《简明经济百科辞典》第914页（631字）

以某种形式把自变量、所求的函数及其导数联系起来的一种方程。

求解(积分法)微分方程就是求出如下的函数，它对于自变量(或变量)在既定的有界或无界的区间上的所有值能够满足这个方程。这个解能够通过代入来加以检验。

如果未知函数只依赖于一个自变量，那么微分方程称为常微分方程。如果讨论多变量函数并在方程中包含偏导数，那么就是偏微分方程(含有偏导数)。

方程中所包含的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶。

n阶常微分方程的一般形式如下：

F(X，Y，Y¹，…，Y⁽ⁿ⁾)=0

n阶常微分方程解的一般形式可以写为：

Y=f(X，C₁，C₂，…，C_n)

式中，C₁，C₂等是任意常数(积分常数)。

每一组特定的常数就给出一个特解。

可见，如不加补充条件，微分方程本身就描述一类完整的函数。

如果讨论n阶常微分方程(也就是，讨论包含n阶导数的方程)，那么它的解正好包含n个任意常数。为了从中选出一个唯一解，通常对于函数要增加n个补充约束条件。

例如，微分方程能够确定其解存在的所有地方的解的行为，如果给定了初始条件，也就是函数及其导数在初始点的值。