地理系统线性规划的图解法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第182页（974字）

用坐标图象对线性规划问题求解，当变量的个数不超过三个时，可用这种方法求解，这种方法既简单又直观，同时从中可以了解线性规划的基本原理。

以例说明，试求X₁，X₂的值，使其满足约束条件

并使其目标函数

其具体解法如下：

(1)求可行解。如图所示，将约束条件的三个不等式视为等式，分别作三条直线，即3x₁+10x₂=300为AB直线，4x₁+5x₂=200为CD直线，9x₁+4x₂=360为EF直线，因为x₁和x₂为非负，所以S·t中5个不等式的解应包含在OAGHF凸多边形内，即分布在凸多边形内的任何一点的坐标，都能同时满足S·t条件，因此图中斜线部分就是满足S·t条件所允许的x1和x2的共同可行解。它构成了这个线性规划问题的可行解集，但是我们的目的是在可行解集中找到最优解。

线性规划图解法

(2)寻找最优解。

由数学知识可知，最优解不会出现在OAGHF凸多边形内，而必分布在各角顶上或某一线段上。因此最优解可在O、A、G、H、F5个边界点中挑选。只要将5个边界点的坐标值代入目标函数方程中，解出各点的目标函数值，然后从中找出最大者，则此点便是最优解。具体计算列入表：

目标函数值表

由表可知，G点的坐标(20，24)为最优解，即x1=20，x_x=24，函数最大值为428。

还可以将目标函数f=7x₁+12x₂转换为

式中为目标函数的斜率，依此斜率在图中找一组平行线，在这些具有相同斜率的平行线中，居最高位置的目标函数直线所切的点即为最佳解。

此例中恰好通过G点。