数理逻辑

出处：按学科分类—社会科学总论 中国青年出版社《社会科学学科辞典》第123页（2514字）

又称“符号逻辑”、“数学逻辑”、“逻辑斯蒂”。

用数学方法研究思维的形式结构及其规律的学科。

数学方法，亦即形式化方法，指根据一定规则，系统地运用表意符号排列揭示对象的结构及对象间联系与规律的方法，其实质是使用符号语言(形式语言)和建立形式化规则(形式系统)，从而把对思维的研究转化为对符号的研究，以便摆脱自然语言的歧义性，构成能象算术或代数那样的严格精确的演算系统。

数理逻辑的基本特征首先是形式化的特征。

数理逻辑抽出自然语言的表词，赋予人工的符号来呈现思维形式的结构，目的主要是把推论转换为演算。这种形式化的语言消除了自然语言的歧义性，既可充当模式，也使演算得以展开；其次是形成为符号系统的特征。它使用一套专门符号来处理各种思维形式，摆脱了自然语言的限制，使逻辑的各个组成部分形成为符号系统。

再次是演算的特征。自然语言缺乏可演算性。数理逻辑撇开自然语言的表词，用符号取代它，并借助变形规则，使推理变成了演算，借助演算的方法，不仅能够判定复杂推理的正确性、有效性，还有助于确定更多的有效推论形式。

数理逻辑的主要内容包括五个部分，即逻辑演算、公理集合论、证明论、递归函数论(能行性理论)和模型论。(1)逻辑演算主要研究逻辑推理的规律。根据对命题逻辑结构研究的深度不同，又分为命题演算和谓词演算。

所有日常的推理和数学上的推理都包括在两个演算之中了，故它是数理逻辑的基础。(2)集合论在数理逻辑中占很重要地位。集合的概念、集合与它的元素间的关系是非常复杂的，而按照通常的观点进行推理，很容易导致矛盾。把集合论公理化，建立公理集合论，是在集合论中发现悖论后，为了克服悖论而提出的改革集合论的一种主张。

这类集合论公理系统对于发展集合论是足够的，且由之推不出任何一个已知的悖论。(3)证明论的主要内容是证明数学(特别指自然数论和集合论)的不矛盾性。为了实现这一目的，就需要把整个数学，包括其公理及其推理规则全部形式化，写成符号体系，再舍弃其内容，只把数学看作一个符号体系，然后用有穷方法证明这个符号体系的相容性，这样数学理论的无矛盾性才能得到保证。这个任务是非常艰巨的。

对这个问题的研究导致了数理逻辑一些分支的产生。(4)递归函数论主要研究判定问题、不可解度问题、计算复杂度问题，特别是研究能行性问题，即研究能行可计算函数的特征，研究怎样才能找到全体的能行可计算函数，由此揭示能行过程的本质，从而解决许多重要的数学问题。

自从电子计算机问世以来，这个理论便有了重要的实用价值。即凡是能用计算机计算的，必然是递归函数；非递归函数必不能为计算机计算。

故它的发展又为生产实践、科学实验起了一定作用。(5)模型论是研究形式理论(即形式系统中的一组公理或公式)和它的解释(即模型)之间的关系的理论，它是较年轻而发展较快的一个分支学科。这个理论应用到其他数学领域，已得到有意义的结果，特别是导致了集合论和代数中十分重要的发展。

数理逻辑的发展大体上可分为三个阶段。

(1)17世纪70年代到19世纪末叶，这是开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期。莱布尼兹首先提出建立精确的普遍科学语言的设想，希望通过计算来解决论辩中的争论问题。

其后，布尔、德摩根、施累德等深入进行了研究，其成果是逻辑代数和关系逻辑。(2)19世纪80年代到20世纪30年代，这个时期，把初等数论和集合论等方法运用到逻辑上，使数理逻辑得到较大的发展。弗雷格最早建立了命题演算和谓词演算的完整系统。罗素和怀特海的三卷本《数学原理》使演算系统更加完美。

而哥德尔的完全性定理则标志着数理逻辑理论已经成熟。(3)20世纪40年代至今，则是数理逻辑的蓬勃发展时期，它以哥德尔不完全性定理开始，逐步在开关线路、自动化系统及计算机科学与技术方面获得应用，随后在解决连续系统假设和选择公理的独立性时创造了力迫法，在模型论、集合论、递归论等其他研究中也获得了许多重要成果。

近年来，两个演算还被用于处理非古典逻辑，出现了多值逻辑、模态逻辑、规范逻辑、时态逻辑、逻辑语义学、内涵逻辑等新分支。哥德尔不完全性定理、塔尔斯基的形式语言的真理论、图灵的理想机和判定理论是这一时期的三个杰出成就。数理逻辑的研究由于数学基础的不同和哲学解释的分歧，形成了逻辑主义、直觉主义和形式主义三个主要流派。逻辑主义以罗素为代表，主张数学与逻辑之间没有严格分界线，可以由逻辑推演出全部数学。

直觉主义以布劳维尔为代表，在哲学上强调人们的直觉活动，认为一命题真，指已证明它为真；而一命题假，指已证明它为假。如果假设一命题为真，就会导致矛盾，故排中律是不能接受的。

形式主义以希尔伯特为代表，认为逻辑公理系统是没有内容的，不能由内容方面保证其真理性，只要是相容的命题就是真理。数理逻辑在现代科学中具有重大的意义，其最明显的例子就是电子计算机的设计和应用都离不开数理逻辑。

运用符号系统描述、表达特定的思维过程，运用电子元件物质地实现特定的思维过程，这不仅具有重大的现实意义和理论意义，而且也是值得深入探讨的一个哲学问题。

20世纪20年代到40年代，我国学者引进介绍数理逻辑方面的成果，培养了一批研究人员。1936年问世的金岳霖所着《逻辑》一书曾产生一定影响。50年代到60年代中，数理逻辑的研究有了较大发展，其中，沈有鼎在逻辑演算和集合论方面、胡世华在递归函数论方面、莫绍揆在模态逻辑方面、唐稚松在程序设计理论方面都取得较好的成绩。

70年代末陆续取得一些科研成果，如杨东屏在递归函数论方面、陶仁骥在自动机理论方面、洪加威在计算复杂性理论方面的研究等，此外还出版了王宪钧、胡世华、陆钟万、陶仁骥等人有关方面的专着。

《数理逻辑教程》，莫绍揆着，华中工学院出版社1982年版；《数理逻辑》，胡耀鼎等着，中国标准出版社1985年版；《现代逻辑基础》，金守臣着，山东大学出版社1987年版。