光学传递函数

出处：按学科分类—政治、法律 复旦大学出版社《国际惯例词典》第606页（3007字）

国际上对照相机、望远镜、复印机镜头、电视镜头、航测镜头、自聚焦成像镜头以及像增强器等各种光学系统的成像质量，通常都采用光学传递函数指标进行评估。

光学传递函数是评价光学成像质量的一项较为完善的指标，国际上已形成惯例。

1946年法国学者杜费(Duffieux)首先运用傅里叶(Fourier)变换这一数学工具来解决光学问题，1948年美国电视工作者赛德(Q．Schade)运用通信论观点，首先用光学传递函数来评定电视系统的像质，1962年英国学者霍普金斯(H．H．Hopkins)已将光学传递函数用于光学设计。

进入20世纪70年代，随着光学转换技术的突破、电子计算机的发展和普及，使光学系统大量的计算工作，从繁重的人工劳动中解放出来，光学传递函数借助这些先进的技术手段，在现代光电技术中迅速得到广泛的应用。

我们知道，检验物镜和其他成像器件的成像质量，传统的方法是用检验鉴别率或星点的方法来实现的。

上述两种方法都存在缺陷，对像质不能用定量的数值来全面表征，而用光学传递函数评定像质，就能克服上述方法的缺点，并能客观地进行计量，这种用一个函数来表达，能深刻、细致和明确地揭示出成像内在规律性的方法，在光学技术中称之谓“光学传递函数OTF。”

光学传递函数由调制传递函数MTF(Modulation transfer function)和相位传递函数PTF(Phase transfer function)两部分组成。

光学传递函数的像质评定主要由调制传递函数MTF来表征。因为，相位传递函数不影响像的清晰度。

光学传递函数的检测是采用多组黑白线条相间的分划板来进行，数值相关联，分划板图案的线条亮度是沿X轴方向的正弦曲线分布(见图7－9－9)，图中：

图7－9－9

I(X)——正弦波光栅的亮度分布；

P——空间周期(单位为毫米)；

或2πv弧度相同

v——空间频率(单位为线对／毫米)，即相邻的一根黑线和一根白线条为一个线对；

I₀——平均亮度(直流分量)；

I_a——正弦波光栅振幅；

I_max(极大)——正弦波光栅振幅相应的极大值。

I_min(极小)——正弦波光栅振幅相应的极小值。图7－9－8称之谓“正弦波光栅”。

由三角函数可知，正弦函数移动的相位，就可转换为余弦函数，用余弦函数来表示其正弦波光栅，其数学表达式为

光学调制传递函数的调制度M定义为

式中：I_max=I₀+I_a，I_min=I₀－I_a。

代入上式，得，M≤1(因光学系统存在像差等因素，所以M实际上不可能等于或大于1)

则I(X)=I₀(1+Mcos2πvX)，

从式中可知正弦波光栅的亮度分布I(X)与调制传递函数M联系起来，并存在确定的函数关系。

我们知道光学系统都存在一个横向放大率β，则正弦波光栅的像的宽度被放大β倍，即

P_像=βP_物

则。

从该式中可知像方正弦波光栅的空间频率要发生改变，并与物方正弦波光栅空间存在确定的函数关系。

正弦波光栅实际成像后，由于像差和衍射等的影响，对比度(contrast)实际要降低，即亮线条会变暗，暗线条会变亮，线条就不明晰，正弦曲线成像后，实际振幅I’_a＜I_a，I_a为理想像的振幅，也即物的振幅。

因为，，，且由于I’_a≤I_a，∴M_像≤M_物。

这就是说实际的调制度在成像后只会降低，不会提高，而且相位也可能发生位移。

调制度的降低程度，与成像后的像方调制度M_像和理想的物方调制度M_物有关，M_像又是空间频率v的函数，则T(v)=M_像(v)／M_物(v)。

T(v)即为包含各个空间频率v的函数，T(v)就是我们所需要求得的调制传递函数。

所谓相位移动，就是实际成像的线条位置不在理想成像的线条位置上，而沿X轴方向移动了一段距离。

其数学表达式则有：

理想成像的亮度分布为：I_(x)=I₀[1+M_物(v)cos2πvX]，实际成像的亮度分布为：I’_(x)=I₀[1+M_像(v)cos(2πvX-э]。

从这两个式中可以看到I_(x)，I’_(x)都与M_物，M_像相关，而且M_物与M_像都不同，并且I’_(x)中多了一个相位角э。

这些变化概括起来又可用下式表示：

D(v)=T(v)e^-is(v)

D(v)即为光学传递函数。

正如前面所述，光学传递函数由调制传递函数[T(v)]和相位传递函数[e^-i9(v)]两部分所组成。

光学传递函数是空间频率v的函数，各个v都有自己的T值和э值，因此对某一个光学系统的光学传递函数画成的曲线往往如图7－9－10所示。

图7－9－10

图中横坐标统一用v(线对／毫米)来表示；纵坐标的下半部是调制传递函数，分格从0到1；上半部代表相位传递函数，分格单位用弧度。

同样，光学传递函数也能决定星点的形状以及其对理想位置的偏移，其函数关系表现为线扩展函数L(X)的关系，如知道了L(X)，就可以求出光学传递函数D(v)了。

另外，经数学证明，任何被观察或被拍摄到的图形，都可以通过傅里叶级数或傅里叶变换分解为若干个频率不同的亮度呈正弦波变化的图样之和，也就是说，各种图形都可以用各种正弦波合成。

显然，用光学传递函数OTF来评价像质要比传统的方法更全面、更丰富，在整个成像系统中，只要知道了各个单元的传递函数，则总体的传递函数就不难通过计算机求得。

所以，目前国际上对许多光学系统的像质评定都是通过光学传递函数OTF来表征，这在国际上已形成惯例。