李代数

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第14页（3900字）

一类重要的非结合代数，因挪威Sophus Lie得名。

一个李代数L是域F上一个线性空间，在其中定义了双线性的二元运算［x，y］(称为方括号运算、换位运算或李运算)且对所有x，y，z∈L满足①反对称性：［x，x］=0，②Jacobi恒等式：［［x，y］，z］+［［y，z］x］+［［z，x］，y］=0。李代数在历史上是由李群的研究导出，是李群的“线性化”，反映了李群主要的局部性质，因此最初曾称为“无穷小李群”，但现在李代数理论已发展成为一个独立的数学学科，它同很多其它数学部门及物理学有着广泛的联系。

设S，T为李代数的子空间，记由所有［x，y］，x∈S，y∈T，张成的子空间为［S，T］。若，则称S为L的子代数；若，则称S为L的理想，令L⁽⁰⁾=L，归纳地定义L^(k+1)=［L^(k)，L^(k)］，k=0，1，2……，若有n≥0，使L⁽ⁿ⁾=0，则称L为可解的。

任一李代数L有唯一的极大可解理想，称为L的根，若L的根为0，则称L为半单的，若L的理想只有L及0，则称L为单的，李代数L到李代数L′的线性映射ψ称为同态若对所有x，y∈L有［ψ(x)，ψ(y)］=ψ(［x，y］)。令gl(V)表线性空间V上线性变换的全体(若dimV=n，则它也可看作所有n阶矩阵的全体)。

对x，y∈gl(V)，定义［x，y］=xy－yx，则gl(V)成为一李代数，李代数L到gl(V)的同态称为L在V上的表示，V称为L的一个模，表示理论是李代数理论的重要组成部分，李代数在物理学中的应用主要是通过表示而实现的。

复李代数(即复数域C上的李代数)的理论最完备、最深刻。

任一复李代数L可表成一半单子代数和它的根的半直和(Levi定理)。因此大致上说，对复李代数的研究可分解为对半单李代数及可解李代数的讨论。可解李代数的分类尚未完成，但知道任一可解李代数同构于一由上三角矩阵组成的李代数(李定理)。设x∈L，令adx为L上线性变换 。

定义．K(x，y)=Tr adx ady(Tr表线性变换的迹)，则K为L上对称双线性型，称为L上的Killing型。若L可解，则K恒为0，若L半单，则K非退化，任一半单李代数可分解成单理想的直和，因此对半单李代数的研究可归结为讨论单李代数。单李代数的分类在19世纪末已由W．Killing及E．Cartan从李群角度完成，以后又经H．Weyl、B．L．vander Waerden、H，S．M．Coxeter、E．Witt、E．Dynkin及N．Jacobon等简化、改进，现简述其要点如下，设L为半单李代数，L的元h称为一环面元如L上变换adh可对角化，由环面元组成的子代数称为环面，设T为L的一个极大环面，则T为交换代数，即［h₁，h₂］=0对所有h₁，h₂∈T，因此L有空间分解，其中α为H上线性函数，L_α≠0，［h，x_α］=α(h)x_α对所有α∈T，x_α∈L_α，α称为关于T的一个根，所有根的集合Δ称为L的根系，在Δ中存在一子集П=｛α₁，…，α₁｝使每一α∈Δ有α=∑k_iα_i，其中k_i为或全为正或全为负的整数，利用Killing型，可将Δ看作一维欧氏空间E的子集。

令，这里(·，·)是E中内积，则＜α，β＞为整数，令C_ij=＜α_i，α_j＞，矩阵(C_ij)称为L的Cartan矩阵，它具有下列性质：(i)C_ij为整数；(ii)C_ii=2；(iii)C_ij≤0当i≠j，且C_ij=0蕴涵C_ji=0；(iv)C_ij的每一主子行列式都大于0。

一个半单李代数的同构类由它的Cartan矩阵完全确定，因此对半单李代数的分类转化为对Cartan矩阵的分类，每一Cartan矩阵对应一由点、线及箭头构成的图形，称为Dynkin图，单李代数对应于连通的Dynkin图，因此问题化为对连通Dynkin图的分类，结论是连通Dynkin图(因而单李代数)只有4大类及5个特殊情形，分别记为A_l(l≥1)，B_l(l≥2)，C_l(l≥3)，D_l(l≥4)及E₆，E₇，E₈，F₄，G₂(足标数称为秩)。J．－P．Serre于1966年给出了从一个Cartan矩阵用生成元与关系式直接构造相应的半单李代数的方法，保证了每一型单李代数的存在性。

实数域R上的李代数与李群有密切的关系。设L及L_C分别为R及C上李代数，如，则称L_C为L的一个复化而L为L_C的一个实形式，一个半单实李代数称为是紧致的如它的Killing型是负定的，每复半单李代数在同构意义下有唯一的半单紧致实形式，设u为一紧致半单李代数，g是它的复化，σ为u上对合自同构，令u₊=｛x∈u｜σ(x)=x｝及u_－=｛x∈u｜σ(x)=－x｝，则在g内g₀=u₊+iu_－为一实半单李代数，且任一实半单李代数皆可这样得到。

因此实半单李代数的分类可在复半单李代数分类的基础上通过对紧致李代数的对合分类得到。

无限维李代数也日益显示其重要性，这方面的研究已取得重大进展。(1)Kac-Moody李代数。在Cartan矩阵定义中去掉条件(iv)，得到广义Cartan矩阵，对每一广义Cartan矩阵，用Serre的方法同样可(在复数域上)构作一李代数，它一般是无限维的，称为Kac-Moody李代数，是V．G．Kac及R，V．Moody在1969年独立地构造出来的，按广义Cartan矩阵的性质，Kac-Moody李代数可分为有限型(即复半单李代数)、仿射型及不定型3类。

Kac-Moody李代数大大扩展了复半单李代数的理论，很多复半单李代数的重要结果都可推广到KacMoody李代数，它和许多数学部分有深刻的(有时是出乎意料的)联系，在理论物理学方面有重要应用，因此受到很大的重视，已发展成一内容丰富的数学分支。(2)Virasoro代数。这是由基｛ei，i∈Z；c｝张成的李代数，它的乘法表是［e_i，e_j］=(m－n)，［c，e_i］=0，i，j∈Z。Virasoro代数与KacMoody李代数有密切关系。

(3)Cartan型李代数。这是由流形上向量场构成的李代数。由E．Cartan在1909年讨论无限维伪李群分类时提出，有W、S、H、K4大类。它们在微分几何及微分方程等理论中有重要作用，从1964年V．W．Guillmin及S．Sternberg开始，很多数学家重新对它们进行了深入的研究。

作为一个纯代数系统，李代数也可以在特征为p＞0的域F上定义和讨论，但特征p李代数的理论与特征0时有很大的不同。

即使在代数闭域情形，一些最基本的命题如李定理、Levi定理、关于Killing型的结论、半单李代数分解为单李代数直和等在特征p时都不再成立。因此必须发展新的概念和方法，一个特征p的李代数L称为是局限的，如果L中定义了一个一元运算x→x^［p］使(cx)^［p］=c^px^［p］，c∈F；(adx)^p=adx^［p］；及(x+y)^［p］=x^［p］+y^［p］+S(x，y)，x，y∈L，这里S(x，y)是x和y的p－1重换位运算的一个确定的和式，许多最重要的特征p李代数都是局限的，从40年代初开始即进行了素特征代数闭域上单李代数的分类的研究，除了与复数域上类似的A_l－G₂几类李代数(称为典型李代数)外，还知道有W、S、H、K四大族Cartan型及广义Cartan型单李代数，它们对应于复域上的Cartan型李代数，但是有限维的，1986年R．E．Block及R．L．Wilson证明当p＞7时，典型李代数及局限Cartan型李代数穷尽了所有的单李代数，1991年H．Strade及R．L．Wilson证明了当p＞7时一个单李代数或为典型的或为广义Cartan型的，因此使这历史长达半个世纪的问题基本上得到解决。

【参考文献】：

1 Gelfand I M, et al. The cohomology of the Lie algebra of formal vector fields (Russian), Izv Akad Nauk SSSR(Ser Mat) ,1970,34:322～337

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3 严志达等．李群及其Lie代数．北京：高等教育出版社，1985

4 Block R E, et al. J of Algebra , 1988,114:115～259

5 Kac V G. Infinite - Dimensional Lie Algebras (3rd Ed). Cambridge University Press, 1990

6 Strade H, et al. Bull Amer Math Soc, 1991,24:357～362

(华东师范大学沈光宇教授撰)