泛代数

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第15页（3672字）

现代代数的一个重要部分，是群、环、域、格和模等抽象代数分支进一步抽象产生的数学分支。

也是一个综合性较强的高层次代数理论，且具有丰富的实际背景、广阔的发展前景和广泛的应用。

19世纪80～90年代，一些数学工作者把群、环、域、格、模等抽象起来研究，出现了泛代数的萌芽。

1898年，怀特希德(A．N．Whitehead)在他的《A Treatise on Universal Alqebra with Applications》中，首次提出了“泛代数”这个名称。

20世纪30～40年代，伯克霍夫(G．Birkhoff)、塔斯基(Tarski)和军森(Jonsson)等人以集合论和格论等为基础和基本工具，开拓了古典泛代数的研究工作，主要在泛代数的子代数格、合同关系格及同态同构定理等方面做了很多比较深入的和有影响的工作。

对泛代数研究的意义的认识，直至20世纪50年代之后，随着电子计算机的出现和不断发展，计算机语言和语义理论的研究逐步深入，泛代数理论在计算机理论研究方面的作用越来越大。反过来，这也促进了泛代数的研究，在50～80年代，泛代数的古典理论进一步发展，现代理论和整个泛代数的研究体系逐步建立，出版了一批专着，发表了大批论文，出现了格瑞直(G．Gratzer)、科恩(P．M．Cohn)和墨肯寨(R．McKenzie)等一大批国际上的泛代数研究的专家。

中国的泛代数研究工作起步比较迟。王世强在国内发表的第1篇关于泛代数的论文，发表在1964年的《数学进展》上。80年代以来，刘绍学、卢景波、胡庆平、许曼等人先后也发表了一批论文，在泛代数的一系列研究方向上得到了很多重要的结果，有些工作还开拓了一些新方向。80年代以来，国内外泛代数研究，实际上是多条线进行和多层次发展的，这是泛代数研究的一个基本特点。

从总体上讲，泛代数研究工作可以分为4个部分：(1)基础理论研究。主要研究泛代数自身的本质特点和内涵的理论。

(2)外延理论研究。主要研究泛代数理论与其它学科、数学分支的联系和相互影响。(3)发展理论研究。

主要研究从泛代数出发进一步发展的一些代数理论。

(4)应用理论研究，主要研究泛代数的应用及应用所必须展开的一些理论研究。至今，这4部分都已做了大量深入的研究。

泛代数的基础理论研究是泛代数研究的中心。迄今，这一部分研究的内容已相当丰富，概括起来主要有：(1)基本概念。

主要涉及泛代数的概念、同态和同构映射、泛代数范畴、关于泛代数的基数函数和序数函数等。

(2)新代数的生成。主要涉及子代数、商代数、积代数、次直积、直极限和逆极限等生成新代数的基本方法，研究一些基数函数的不变性质或变化情形，研究新代数生成法下的某些不变性或逆不变性。(3)代数结构。

以格、闭包系统和多项式为工具研究子代数系统的结构、合同格及同态和同构定理，进而解决一些与新代数的生成有关的一些问题和展开代数的类的算子、等式类或簇论的研究。(4)某些泛代数类。大体上可分为由泛代数结构取得特殊情形定义的代数、由子代数定义的代数、由合同关系定义的代数、由某些性质定义的代数等，后者还包括很重要的自由代数及与之有关的一些问题的研究，例如恒等、万有函子、F－字代数、运算的克隆及F－代数范畴中的表示等。

泛代数理论研究使用多种工具，常用的主要有3种：(1)来自集合论的工具，如基数、序数、选择公理和它的一些等价命题、闭包系统等。

(2)来自范畴论的工具。如范畴、函子、自然变换、函子的伴随、交换图和万有性质等。

(3)来自经典代数的工具。如半群、群、环、格、多项式和理想等。

经典代数工具的使用也使泛代数研究产生了两类自然的问题：一类是推广问题，即某一抽象代数分支中的某个结果或采用的某个方法可否一般地在泛代数中研究，如理想对环的研究起了极为重要的作用，而在泛代数中引进理想的概念是一个令人感兴趣的事情。另一类是应用问题，在本文最后再作介绍。注意，一些传统的方法在泛代数理论研究中得到了应用，并且有一定的发展。例如，归纳法是一种传统的方法，在泛代数理论研究中常常使用对自然数的数学归纳法和对序数的超限归纳法，还进一步采用了各种归纳法：对闭包系统的A－归纳法，对函数复合次数的归纳法(类似于逻辑归纳法)，对秩(记号个数)的归纳法，对子代数系统的S－归纳法，且在以泛代数为基础的代数规范论中进一步采用结构归纳法。

这些都丰富了泛代数研究的工具和方法。

泛代数的外延理论涉及多门学科和多个分支，内容丰富，且正在不断发展。泛代数的外延理论涉及到的重要专题或方向主要有：泛代数范畴，是泛代数与范畴论结合产生的一个专题；模型论，是泛代数与数理逻辑结合产生的一个数学理论；拓扑(泛)代数，是在泛代数上赋以拓扑结构，且使每个运算皆连续而产生的，本质上是泛代数和拓扑学的结合的产物；同调(泛)代数，是泛代数和同调论结合产生的一个专题，主要用同调和上同研究代数调的方法来。泛代数的发展理论已涉及一系列的数学理论。在泛代数中加上一些有限元偏运算而成为偏代数。泛代数和偏代数总称为有限元运算系统，其进一步发展是无限元运算系统。有限元运算系统和无限元运算系统一起组成了代数运算系统，其进一步发展是关系系统。而代数运算系统和关系系统一起组成了(抽象)代数系统(或广义的泛代数)。

这些数学理论的研究构成了泛代数丰富的发展理论。

经过半个多世纪许多数学工作者的努力，泛代数已有了很多应用，并形成了内容丰富的应用理论。

泛代数的应用主要有3个方面：一是在数学内部，在自然数、广群、半群、环、线性代数、Lie代数及Jordan代数中的应用；二是用于语言理论，解决有关语法问题；三是以泛代数为基础建立某些学科或分支的某些理论，如计算机科学理论中有一个新分支——代数规范论，实际上是用泛代数研究语言规范的理论，它的基本目的是为了解决语义问题(包括一级语义问题和二级语义问题)。

泛代数是正在迅速发展中的一个重要的数学分支。

今后，泛代数在其基础理论、外延理论、发展理论和应用理论方面都将会有相当大的发展。从目前来看，泛代数研究中比较热的专题有：(1)基数函数问题。通过引入一批重要的基数函数，对泛代数进行数量研究，逐步形成泛代数的基数函数理论。(2)扩张问题。研究泛代数的各种扩张方式，研究由扩张造成的代数间的关系和变化，也研究与扩张有关的一些问题，逐步建立泛代数的扩张理论。(3)几个基本问题。

如研究泛代数的闭包系统、等价及理想等，进一步丰富泛代数理论。(4)几类代数，如结合代数、分配代数、有序代数和自由代数等的研究。另外，还有簇论、拓扑代数、同调、偏代数、关系系统及应用方面的研究。

泛代数在中外数学工作者及逐步掌握它的理论物理工作者、理论化学工作者及计算机科学理论工作者的共同努力下将会有相当大的发展，并将推动模型论、语言代数、计算机语言理论及代数规范论等的重大发展。

。【参考文献】：

1 王世强．数学进展，1964．2∶213～218

2 Gratzer G. Universal Algebra (Second Edition). New York: Springer-Verlag,1979

3 Cohn P M. Universal Algebra, London D. Reidel Publishing Company, 1981

4 许旻．西北大学学报，1982，(3)∶110～116

5 卢景波．北京师范大学学报，1983，2∶37～43

6 刘绍学．北京师范大学学报，1985，1∶17～24

7 胡庆平．数学学报，1987，6∶780～787

8 胡庆平．西北大学学报，1987，3∶32～38

9 胡庆平．西北大学学报，1989，2∶27～33

10 胡庆平，李丹．泛代数．武汉：华中理工大学出版社，1993

(西北大学胡庆平教授撰)