边界元方法的数学分析

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第118页（3164字）

用边界元方法求解偏微分方程的初值(或初边值)问题首先要把原问题转化为边界上的积分方程，并把原问题的解用积分方程的解在边界上的积分表出；然后通过对边界(有时也包括区域)的离散化过程数值求解边界积分方程，进而得到原问题的近似解。

边界元方法的数学分析或者称边界元方法的数学理论研究包括如何将边值(或初边值)问题转化为边界积分方程(简称为边界归化)；这些积分方程的性质如何，是否适定(唯一可解性和对初边值的连续依赖性)；积分方程的离散方式；边界单元的建立及性质；边界元空间(或称边界有限元空间)的逼近性；边界元近似解的收敛性和误差估计；各种提高精度的算法及其理论依据等内容。这些研究对于改进和发展边界元法都是至关重要的。

边界元法的一个显着特点是原问题转化为边界积分方程的途径并不是唯一的。它大体上可分为两类。(1)广义格林(Green)公式法(或称直接法)。用广义格林公式和基本解导出解的积分表达式，再利用已知边界条件得到确定未知边值函数的边界积分方程。

(2)位势法(或称间接法)。将边值问题的解表成单层位势或双层位势，再利用边界条件和位势的性质，导出确定未知密度函数的边界积分方程。

利用这两类方法，可以将用一边值问题转化为不同形式的边界积分方程。除在某些情况下通过一定的技术处理可能得到非奇异的积分方程外，一般情况下这些积分方程是奇异的。在边界元法的工程应用中，就是根据积分方程的形成方式和积分方程中未知函数有无明显物理意义的区别把边界积分方程区分为直接边界积分方程和间接边界积分方程的。从积分方程的性质区分，可归纳为第一类或第二类弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程，带时间变量时为维他里－弗雷德霍姆(Volterra-Fredholm)积分方程；或为弱奇异的，或柯西(Cauchy)主值型奇异的，或为哈得马(Hadamard)有限部分型奇异的(也称为超奇异型的)。

这些积分方程的性质很不相同，研究它们的方法也迥然不同。特别提及的是在经典的位势理论中，总是将边值问题转化为第二类积分方程求解，这是因为第二类弗雷德霍姆积分方程解的适定性有成熟的理论依据，这正是古典边界积分方程论所研究的内容。然而这种方式要失去原问题可能具有的自伴性等有用性质，还会相对地增加计算量。

近年来，G．C．Hsiao．，J．C．Nedelec，W．L．Wendland等人致力于研究用第一类积分方程求解的方式，不仅在理论上论证了从弱奇异到超奇异的第一类边界积分方程解的适定性，而且建立了切实可行的计算方法。

实践证明，第一类边界积分方程特别适用于求解细薄区域外部或者由线、面构成的开边界的边值问题，可有效地应用于断裂、屏障等实际问题。冯康1975年提出利用格林函数将边值问题归化为边界上含有发散积分的有限部分的超奇异积分方程的思想。

此后，处理这种超奇异积分方程的数值方法被称为正则边界元法(因为通过格林函数得出边界积分方程的方式是直接的，与有限元公式的耦合最为自然，故又称为自然边界元)。正则边界归化要求区域几何形状比较规则，然而它和有限元耦合就可适用于求解任意形状区域的问题。

将原问题转化为边界积分方程过程中，要不可避免的使用基本解或格林函数。有时也采用修正格林函数或近似基本解的技术以克服边界归化中的困难。注意到原始边值的可解性与归化得到的边界积分方程的可解性并不总是一致，边界元方法的数学分析的首要任务就是论证边界归化的合理性。

M．Costabel、E．Stephan和W．L．Wendland等人最早用拟微分算子理论统一研究各种形式的奇异边界积分方程，他们指出这些积分方程如果纳入拟微分算子的框架，都可以归结为边界上的强椭圆拟微分算子，由Garding不等式便知这些算子可分解为正线性算子与紧线性算子之和，而这恰好是迦辽金(Galerkin)法收敛的充要条件，从而为用Galerkin法求解边界积分方程建立起一套进行误差估计的程式。

J．C．Nedelec等人一直用变分方式建立边界积分方程的解与原问题的广义解之间的联系，并在适当的Соболев空间中讨论区域上的广义解与其在边界上的迹之间的对应，通过Lax-Milgram定理得出用Galerkin法求解边界积分方程的适定性及敛速估计。近年来，对在非光滑边界或开边界上的积分方程的研究、对非光滑边界条件或非线性边界条件问题的研究也都有许多成果，并对边界元解在非光滑处的奇异性和相应的技术处理方法上给出了理论分析。

在工程应用中，常用配置法求解边界积分方程。配置法比迦辽金法计算简单，但理论分析比较困难。

对于第2类边界积分方程，可借助经典配置法理论给出误差估计。关于光滑曲线上的第一类边界积分方程的奇数阶样条函数配置法，Arnold等将它等价于某一迦辽金法，得到其收敛结果。

一些人根据定义在闭曲线上的函数可表成实轴上的周期函数，且边界积分算子可化为具周期核函数的卷积算子与光滑核的算子之和的特点，提出了许多精度高且计算量小的算法，例如迦辽金配置法、快速傅里叶变换算法、样条－三角函数迦辽金法、积分配置法等。对曲面上的边界积分方程的数值方法的理论分析更为困难些，例如，对三维问题用配置法解第一类方程的收敛性就没有证明。目前，椭圆边值问题的边界元法的数学分析已相当深入，有限元法的一些理论和技巧已移植到边界元法中，如自适应算法、h－p方法、外推法、高精度组合方法等。

用边界元法求解变分不等式问题，用边界元法求解奇异慑动问题，在区域分解算法中应用边界元法，边界元与有限元或其它数值技术的耦合，无论在算法上或理论上的研究，都有所发展。

。【参考文献】：

1 Nedelec J C, et al. Comput. Methods Appl Mech Engi, 1976,8:61～80

2 Hsiao G C, et al. Math Anal Appl, 1977,58:449～481

3 Feng Kang. Proc J Intern Congress Math, Warsaw, 1983,8 (16-24): 1439～1453

4 Arnold D N, et al. Math Comput,1983,41:349～381

5 Wendland W L. The Mathematics of Finite Elements and Applications Ed.Whiteman,Academic Press Lindon 1985,193～277

6 Costable M, et al. J.Reine Angew Math,1986,372L:39～63

7 Umetani S. Comput Mech Publications,1988

8 祝家麟．椭圆边值问题的边界元分析．北京：科学出版社，1991

9 余德浩．自然边界元方法的数学理论．北京：科学出版社，1993

(重庆建筑大学祝家麟教授撰)