格值模型论

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第3页（5007字）

模型论是数理逻辑的重要分支，它的系统展述由塔斯基(A．Tarski)倡导于20世纪50年代初期，而多值逻辑作为逻辑系统可追朔到20世纪20年代。

这几十年中多值逻辑有了很大发展。近10～20年来，由于公理集合论中布尔值模型的应用，模糊数学中非布尔值逻辑的出现，以及计算机科学中多值线路的探讨等，使多值逻辑的研究有了更多的具体背景及客观需要。多值逻辑的理论和应用的迅猛发展，促进了模型论的发展。70年代中、后期，王世强开创性地研究了命题和谓词均取值于某个格上的模型论，即格值模型论。

格值模型论涉及格和形式语言。格L对运算“∩”、“∪”完备且具有补运算“′”，有最大元1和最小元0。

补运算“′”一般只要求满足1′=0，0′=1，且是L到L的一个对应。形式语言中，逻辑符号仅限于∨，∧，乛和量词，共五个，在讨论赋值时，分别被解释为L中的运算∩，∪，′，和sup(最小上界)，inf(最大下界)。

现设L=｛λ₀，λ₁，λ₂，……｝，λ₀=0，λ₁=1，设∑是形式语言上的任一非空句子集，∑_λ1，∑_λ2，……为∑的任一个确定的分划(可有某些∑_i为空集，但分划常无∑_λ0。且对不同的λ_i，λ_i，∑_λj∩∑_λj=Φ)。将∑连同这样一个分划称为分组句子集或理论。上的模型的定义跟二值时类似，只是在有一集零元关系符号C_λ0，C_λ1，C_λ2，……时，C_λ在的任何模型中恒取定值λ。

如果对∑的上述每个子集∑_λ1，∑_λ2，……，对∑_λi中的每个句子ψ，均有ψ｜M=λ_i，那么称μ满足∑，也称M是∑的模型(或实现)，记作。

上述形式语言本质上还是一阶的。由于值格一般异于二值，甚至可能不是布尔代数，因此在这样的值格下，多值狭义谓词演算系统一般是复杂的。因没有符号“”，相应的公理需由其它性质来体现。

1979年，王世强和翁稼丰给出了一些多值狭义谓词演算中合式公式(即良构式)的前束标准形，证明了当给值格的最小上界，最大下界运算加上有限性条件(F₁)和(F₂)及对偶条件(D₁)时，任意良构式ψ都可有效地化为前束范式，即∑_n式，或П_n式，这为判定问题和多值模型论的研究作了准备。在随后的几年时间里，王世强等一直致力于格值模型论的研究。

1979年王世强和卢景波建立了格值模型的超积基本定理，为格值模型论的研究开了先河。众所周知，超积构造法不仅对数理逻辑的几个分支的研究是有力的工具，而且对数论、代数、拓扑等学科也有应用。在他们证明的超积基本定理中“值格有限”是相当弱的条件；而当值格未必有限，但适合性质(F₁)和(F₂)，且D为下标集I上的｜L｜⁺完备的超滤时该定理仍有效。作为超积基本定理的推论，王世强得到了有限值格时的紧致性定理，即：设L为有限值格，∑为上的一个分组句子集，如果∑的每个有限分组句子集都有模型，那么∑也有模型。多值逻辑中的和谐性概念的定义是不容易给出的，一般地就用“有模型的理论”来说明“是和谐的理论”，但这样一来就跟狭义谓词演算中的“和谐性”概念有差别，尽管如此，许多工作还是照样可以进行下去。紧致性定理和LST定理是二值模型论中极其重要的两个定理，对格值模型论也不例外。

为使二值模型论的许多结果易于推广到格值情形，王世强引进了弱特征式和强特征式的概念。所谓特征式△(p，q)，就是由命题变量p，q经∨，∧，乛组成的良构式，如果对任何x，y∈L，当x=y时△(x，y)=1，而当x≠y时，有△(x，y)≠1，就称△(p，q)是弱特征式；如果当x≠y时恒有△(x，y)=0，那么就称△(p，q)为强特征式。同一年，王世强用常量构作法证明了在值格有限且具有弱特征式时的紧致性定理，同时顺便得到了LST定理；也证明了在值格适合(F₁′)，(F₂′)及紧致性定理，并具有强特征式时，如果语言可数且具有一集与值格相对应的零元关系符号且上有模型的理论T局部省略一个分组式子集∑，那么T必有一个模型省略∑(这就是省略型定理)。(注：用(F′₁)，()是高恒珊建议的)。

在值格满足一定条件时，紧致性定理和LST定理都肯定了某种模型的存在性，特别是LST定理指出了有意想不到的特别大的模型存在。构造模型常用的方法除上文提到的超积法，常量构作法，省略型定理，紧致性定理和LST定理以外，还有初等链法，强升(或降)LST定理和力迫法等。

沈复兴在王世强等开始研究格值模型论后不久，也加入到这项研究的行列，在他们工作的基础上，进一步把二值模型论的许多结果推广到格值情形，并定义了许多新的概念。以下常假定语言含一集零元关系符号C_λ，λ∈L，且值格L适合紧致性定理。

弱有限性条件(F′₁)、(F′₂)，且有强特征式△(p，q)。

在这些假定下，沈复兴给出了初等子模型的等价条件，并得到了强升LST定理，即每个无限模型都有任意大的初等扩充，以及强降LST定理。

为给出模型完备理论的等价条件，除值格满足上述条件外还应满足对偶性条件(D₁)：对任意x，y∈L，(xUy)′=x′∩y′，(x∩y)′=x′∪y′。由此他得到了模型完备理论的其它几个等价条件，并由这些充要条件，使我们很容易导出在格值情形下一个理论是否完备的两个准则；即罗宾逊(A．Robinson)判别法：

(1)模型完备的理论如果有一个素模型，那么该理论是完备的。

(2)如果模型完备的理论的任何两个模型都可嵌入到它的第3个模型中，那么该理论是完备的。

理论T的完备性的另一个判别法是强升(或强降)LST定理的很有成效的应用。该判别法说：只有无限模型的和谐理论T，如果对某个无限基数，T是α－范畴的(即：T的任何两个基数为α的模型都同构)，那么T是完备的(LosVaught判别法)。

模型链概念特别是初等链的概念在格值模型论中也起了重要作用。通过模型链，沈复兴给出了格值模型完备理论的Lindström判别法，初等链定理，以及Robinson和谐定理及克瑞格(W．Craig)内插定理。

Craig内插定理是说：设L有限，L=｛λ₀，λ₁，……，λ_m｝，φ和ψ是的两个句子。

如果

那么存在句子θ，θ中出现的非逻辑符号除“≡”和“C_λi”外在φ和ψ中都有出现，使且∨乛△(ψ，C_o)都成立。

应用初等链定理，沈复兴得到了格值模型论的3个保持性定理。正如A．Robinson把科恩(P．J．Cohen)的力迫法引进模型论中得出一些有趣的结果，沈复兴也把力迫法引进格值模型论中，分别给出了有限力迫和无限力迫的定义。他证明了在有限力迫下，当可数时，与T和谐的模型M(即：有N使N，且)都有generiic扩充；T-generic模型类是模型完备的类，它在链并下封闭，且是归纳类，这个类中的模型都是T的存在完备模型；归纳理论T的任意generic模型都是T的存在闭模型。并得到了比王世强早先得到的条件要弱得多的省略型定理，在这里他只要求值格适合(F′₁)、(F′₂)和紧致性定理。可见有限力迫法对模型论的影响是深刻的。

同样地，用无限力迫法，沈复兴得到了一些与有限力迫时相类似的结果，也有一些很深刻的结果。

关于可数语言中完备理论T的可数模型，早在1979和1980年时王世强就已研究过，并建立了涉及原子模型和可数饱和模型方面的一系列结果，其中有一个结果表明，正好有两个不同构可数模型的完备理论是不存在的。对于二值模型论而言，当n≥3且为正整数时，某些完备理论恰有n个不同构的可数模型，但对一般的异于二值的模型论，这个结果是否正确尚属未知。尽管如此，二值模型论中ω－范畴理论的刻划在格值情形仍然有效。

范畴性对一个理论的要求是太高了，因此考虑理论对某基数是范畴的在情理之中。在王世强、沈复兴等人工作的基础上，自1986年起沈云付开始研究格值模型论中完备理论的α－范畴性，α－饱和性及α－稳定性。

在这之前卢景波在α－饱和性方面已做了一些工作。沈云付建立了象Skolem函数和不可辨元，α－饱和，α－稳定等方面的一系列概念和结果，最后证明了格值的莫莱(M．Morley)定理，即：设语言可数，在值格有限和有强特征式时，如果完备理论T对某是α－范畴的，那么T对每个不可数基数范畴。

张玉平从另一角度研究格值模型论。

1992年他通过把多值公式，多值模型及其它一些概念转化为相应的二值概念，给出了上述一些结果的新证法，导出了不具备(F′₁)，(F′₂)时的弱紧致性定理，以及关于完备理论不同构的模型个数的几个重要结果。涉及稳定性，有许多工作可做。

为了多值逻辑判定以及后来建立格值模型的需要，王世强和吴望名于1964年和1981年给出了可补格按恒Ⅰ式集分类的一些结果。

王世强后来又讨论了值格的同模性分类的充要条件。1992年王捍贫又研究了完备弱可补格的同模分类问题，给出了原子完备弱可补格与二元布尔代数同模的充要条件及一类关于分组格的结果。在格值模型论的研究中，应明生，别荣芳，宋等人都做了相关的工作，应明生曾给出超积基本定理的另一种形式。

从基础工作而言，尽可能减弱对值格的要求，但又不失掉某些重要的结果才是比较理想的，但有一定的难度。

如强特征式的要求确实太高，可否进一步减弱使它有较大的适用性。另外有限值格的要求可否放宽到无限?王世强、卢景波、沈云付等都给出过例子说明，当值格无限时，紧致性定理，超积基本定理，LST定理等极其重要的定理是失效的。

卢景波指出即使ω－和谐也不能保证和谐性。尽管路是比较窄的，但也许会有突破性的进展。

对非一阶语言上的格值模型论的研究，工作仍然很多。沈复兴已经研究了语言上的格值模型论的和谐性质，及语言上格值模型力迫法以及其它一些语言上的模型论，并取得了许多好的结果。与计算机科学有关的有限模型论可能是很有前途的。由于格值模型论还在发展之中，迫切盼望这些研究能给数学本身带来新的结果，找到新的应用。

。【参考文献】：

1 王世强，卢景波．科学通报，1981，26；71～74

2 王世强．北京师范大学学报(自然科学版)，1980，3－4∶25～30

3 王世强．数学进展，1981，10(2)∶144～146

4 王世强．数学学报，1982，25(2)∶202～207

5 卢景波．北京师范大学学报(自然科学版)，1982，2∶1～8

6 沈复兴．科学通报，1982，27∶264～266

7 沈复兴．北京师范大学学报(自然科学版)，1985，2∶9～14

8 沈复兴．数学年刊，1986，7A(1)∶46～54；7A(2)∶161～169

9 沈云付．科学通报，1987，2∶1221～1223

10 张玉平．北京师范大学学报(自然科学版)；1992．28(4)∶420～425

(湖州师范专科学校沈云付博士撰；王世强审)