群表示论

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第20页（3145字）

群G在一个范畴D上的表示，是指G到范畴D中某个对象A的自同构群的同态。

通过群表示，人们将一个需要加以研究的群G与另一个比较具体的群H联系起来，并由H的性质来探究G的性质，或者通过G对A的作用来研究A的性质，这一理论就是群表示论。群表示论是现代数学的重要理论分支，它不但应用于数学各个领域而且还应用于量子化学、理论物理等许多学科。线性表示与置换表示是最重要的2种表示。线性表示是群G到一个向量空间上的线性变换群的同态，而置换表示是群G到一个置换群的同态。

下面我们的讨论仅限于有限群表示。有限群表示的基本概念可推广到无限群，但无限群表示所关心的对象主要是拓扑群，特别是局部紧拓扑群，目前这一领域已发展成为现代分析的一个重要分支。

群表示论是19世纪末德国G．Frobenius创立的，此后Frobenius与W．Burnside、I．Schur发展了复表示理论，并利用特征标研究群的结构得到了丰富的结果，着名的Burnside定理，即仅含2个不同素因子的有限群是可解群，就是利用特征标理论证明的。直到70年代初才出现这一定理的纯群论证明，但纯群论证法仍不及表示论证明简洁。第1部系统论述群表示的着作是Burnside1911年的《有限群理论》。

其后对群表示论作出最重要贡献的是德国R．Brauer。从20世纪30年代开始直到1977年Brauer去世的40多年中，Brauer和他的学生们发展了有限群的模表示理论，其主要内容包括Brauer块论三大定理。这3个主要定理将对于群G的块及块中特征标的研究归结于对G的某些局部子群的块及块中特征标的研究。

1941年Brauer得到了亏数为1的块的常特征标与模特征标的结构。25年之后J．G．Thompson将不可分解模的顶与源的概念，以及Green对应应用于具有循环亏群的块的研究，1966年E．C．Dade在Thompson工作的基础1－完成了循环块的结构理论。

Brauer工作的一个特点是在建立投射模的基本性质之后尽量避免模的理论而主要讨论特征标的性质，并把它应用于群的结构的讨论。模表示被成功地应用于有限单群分类理论，有限单群分类工作于1981年完成，这是群论诞生100多年来最出色的成就。

1959年J．A．Green开始对群代数的不可分解模进行系统的研究，1964年得到的Green对应是研究群代数不可分解模的基本工具。Green还证明块的Brauer对应与块代数作为双边G模的Green对应一致。不可分解模的理论至今仍是群表示理论中所关心的重要问题。

1979年J．L．Alperin与M．Broué在Brauer关于块熔合理论的基础上提出了局部表示论的方法，继之Broué与LPuig对于幂零块的特征标进行了详细的刻划，Puig进一步引入点群与源代数的概念，并于1988年求出了幂零块的源代数。

这些结果是继循环块的理论之后模表示论中最深入最完整的理论。局部表示论是目前活跃的研究领域。Alperin1984年的着作《局部表示论》是这一领域的重要着作。1987年Alperin在有限李型群结构的启发下提出一般有限群的权猜想。

这一猜想如果成立，可以推断模表示中许多过去难以证明的结果。目前已经证明这一猜想对于p－可解群、李型群以及对称群是成立的，但一般情况下这一猜想仍是一个十分困难的问题。

70年代以来，由于M．Auslander和I．Reiten的工作，Artin代数的表示理论得到很大的发展。Auslander和Reiten首先引入几乎分裂序列的概念，并证明对于每个Artin代数的每有限生成非投射不可分解模恒存在唯一的几乎分裂序列，然后利用几乎分裂序列构造一个称之为Auslander-Reiten箭图的有向图Q，箭图Q联系一个路代数kQ，每单kQ－模是一维的，并且已知的代数A与kQ的一个商代数Morita等价。

这样代数A的模范畴性质可由箭图Q的性质决定。80年代以来K．Erdmann、P．J．Webb等将代数表示的Auslander-Reiten理论与方法应用于有限群表示的研究，并作了一系列工作，特别对于亏群为循环群、四元数群、二面体群或半二面体群的块中不可分解模的结构作了比较详细的讨论。D．J．Benson将这些结果以及表示论的上同调方法汇集在他新近的着作《表示与上同调》两卷本中。

通常把有限群的复特征标理论称为常表示论。

常表示论的一个重要进展是李型群的表示。有限李型群是极其重要的一类有限群，李型群的复表示经过长期的研究在70年代由于P．Deligne与G．Lusztig的工作，目前这一理论体系已经建立。1976年Deligne与Lusztig利用l-adic上同调理论构造了一族广义特征标，并详细研究了它们的性质，这族广义特征标是求出李型群全部不可约复特征标的关键。李型群复表示理论的主要结果收集在R．W．Carter1985年着的《有限李型群：共轭类与复特征标》一书中。

常表示的一般理论近年也得到不断的完善，其中主要的工作包括可解群的特征标、M－群的群论刻划、特征标的维数、特征标对应以及特征标积与共轭类积的分解等方面，I．M．Isaacs1976年着的《有限群的特征标理论》相当详细地论述了常表示的主要内容。

当前有限群表示论的研究主要是模表示的研究，而模表示研究的中心问题是群代数不可分解模的构造及分类问题。但是全体有限群群代数不可分解模的分类目前还是一个非常困难的问题。就块论而言，如何将循环块的理论推广到具有可换亏群的块，对于一个已知的有限p－群D，怎样刻划以D为亏群的有限群块代数的Morita等价类等等都是人们非常关注的问题。

。【参考文献】：

1 Isaacs I M. Character theory of finite groups. New York:Academie Press,1976

2 Alperin J L. Proc Sym,Pure Math, 1980,37:369～375

3 Curtis C W, et al. Methods of representation theory. New York:Wiley,1981

4 Feit W. The representation theory of finite groups. New York,North-Holland,1982

5 Carter R W. Finite groups of Lie type: Conjugacy classes and complex characters. New York:Wiley, 1985

6 Benson D J. Representations and cohomology. Cambridge :Cambridge Uni. Press, 1991

(西南师范大学张广祥教授撰)