Chebyshev集的太阳性和凸性

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第48页（3792字）

设E为赋范线性空间，M为E中子集，令，

PMt=｛m；m∈M，‖x－m‖=d(x，M)｝

若对任何x∈E，PMx≠Φ，则称M为存在性集，如，P_Mx为单点集，则称M为Chebyshev集。

为讨论最佳逼近的唯一性，Efimov和stechkin在1958年引入太阳集的概念：若由m∈P_Mx可推得有m∈P_Mxt，其中，则称M为太阳集。

为了讨论Chebyshev集和太阳集、凸集间的关系，还需知下述概念：

M为有界紧集：M与E中任何球的交集是紧集。

M为逼近紧集：满足‖x－m_n‖→d(x，M)时，必有子列收敛。

E为光滑空间：f∈E^*满足‖f‖=1f(x)=‖x‖称为x点的支撑泛函。

如果对每一x∈E，支撑泛函唯一，称E为光滑空间。

E为一致凸空间：，，由‖x‖=‖y‖=1及‖x+y‖＞2－δ可推得‖x－y‖＜ε。

Chebyshev集、太阳集、凸集三者间的关系：(1)Banach空间E中有界紧Chebyshev集必为太阳集。(2)光滑空间E中存在性太阳集必凸。(3)一致凸空间E中逼近紧Chebyshev集必为太阳集。(4)实C(x)中逼近紧Chebyshev集是太阳集。

Dunham于1975年在C［0，1］中举出Chebyshev集不是太阳集的例，说明(4)中逼近紧不能省。

例：设ψ，R₊→R 严格单调并满足

ψ(0)=1，

则M=｛V_a，a≥0｝是C［0，1］中Chebyshev集，但不是太阳集。

对Hillert空间H，由(2)(3)有：逼近紧Chebyshev集存在性太阳集凸集。去除逼近紧条件，在Hillert空间H中，Chebyshev集是否一定是凸集?这是至今未解决的问题。

当H不完备时，Johnson于1987年给出上述问题的否定解答，在内积空间中给出不凸的Chebyshev集

例：E=｛(x₁，x₂…x_n…)；x_n∈R，｛i；x_i≠0｝；x_i≠0｝为有限集｝。

令，

1=A₀＞A₁＞A₂＞…＞0，L₀=F₀=1

归纳地定义：

命，，则M为E中不凸的Chebyshev集。

讨论最佳远达问题，令

，

即Q_Mx为M对x最远点全体。

如对，Q_Mx均为单点集，则称M为唯一远达集。

对赋范线性空间E，可讨论关于∑=｛x；‖x－c‖=r｝的反演变换

f(x)=c+(r²／‖x－c‖²)(x－c)

易见

f：E＼｛c｝→E＼｛c｝

当E为内积空间时，Klee指出：当S是E中不通过c的球面时，f(s)也是球面。利用上述反演变换，Klee证得下列论断有(2)(1)：(1)E中任何Chebyshev集是凸集；(2)E中任何唯一远达集是单点集。

虽然对许多具体空间，证实了唯一远达集的单点性，但对Hillert空间，这仍是一个悬而未决的问题。

对Hillert空间H的有界子集M，数

称为M的Chebyshev半径。满足

的c∈H称为M的Chebyshev中心。对Hillert空间的有界子集，Chebyshev中心存在且唯一。

Astaneh于1983年证得下述结果：

M是Hillert空间H中唯一远达集，c、r(M)为M的Chebyshev中心和Chebyshev半径，则M或为单点集，或对x∈(c，q(c))有

其中q(x)为远达点映照。

最后，介绍关于几乎Chebyshev集的一些结果：Stechkin于1963年对赋范线性空间E中子集M，引进唯一性集T_M=｛x；P_Mx为单点集，x∈ E｝。

如果E＼T_M至多是第1纲集，则称M为几乎Chebyshev集。并且证明'

一致凸空间中任何闭集都是几乎Chebyshev集。

1978年K．S．Lau将Stechkin的结果推进到自反、局一致凸空间。这里局一致凸的意义为：

记s=｛x；x∈E，‖x‖=1｝，及x∈S，，

当y∈s，‖x+y‖＞2－δ(x)有‖x－y‖＜ε。

K．S．Lau同时举例说明：条件自反不可省，局一致凸不能减弱为严格凸。

1990年李冲将K．S．Lau的结果推广到K局一致凸空间，证得

自反的K局一致凸空间的任何闭子集是几乎k－Chebyshev集。

K局一致凸是指：，x∈S，对任何x₁，x₂…x_k∈s及‖x+x₁+…x_k‖＞k+1－δ(x)有Sup

K几乎Chebyshev集意义是：对P_Mx定义维数 dimP_Mx=dim［Span(P_Mx－P_Mx)］，记

BM=｛x∈E；P_Mx≠Φ且dimP_Mx＜k｝

若E＼B_M至多是第一纲集，则称M是k－几乎Chebyshev集。

不同空间中Chebyshev集特性的研究已有不同程度的展开，随着进一步研究，期望会得到更全面更深入的结果。特别对Hillert空间中Chebyshev集是否是凸集的遗留问题可望得到解决。

从单目标逼近到多目标逼近，最佳共同逼近中相应的唯一性集的研究现已初步展开，近期可望得到更多更好的结果。

对非线性优化问题，甚至非线性多目标优化问题，对应于某种意义下最优解的唯一性问题也是值得研究的重要课题。

。【参考文献】：

1 EfimovN V.StechkinSB. DANSSSR, 1958,118:17～19

2 Efimov.N V.StechkinSB. D A N SSSR, 1959,127:254～ 257

3 KleeV. Math Annalen ,1961,142:292～304

4 Stechkin S B. Rev Roumaine Math Pur Appl, 1963,8:5～ 18

5 VlasovLP. MathZametki, 1967,2:191 ～ 200

6 Dunham C B. Math Bull, 1975,18:35～38

7 L'au K S. Indian University Math J, 1978,27:791～795

8 Astaneh A A. Indian J Pure Appl Math ,1983,14,(10): 1311～1317

9 JohnsonGG. J AT, 1987,51:289～332

10 李冲．几乎k－Chebyshev子集，1990，33(2)∶251～258

(浙江师范大学徐士英教授撰)