集函数的自连续性

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第55页（2878字）

经典测度论中研究的测度是具有可加性的。

然而，随着对客观事物的更广泛、更深刻的认识，建立大量非可加测度及其积分的一般理论是非常有意义的工作。较之经典测度，非可加测度失去了经典测度论中赖以得到许多重要结论的可加性，因此，为将可加测度的某些重要结论推广到非可加测度，人们自然要对非可加测度再附加一些条件。集函数的自连续性就是众多条件中最重要的一个，它有效地刻划了某类非可加测度及其积分的一系列重要结论。

集函数的自连续性的提出及应用和一类非可加测度的提出和发展密切相关。众所周知，经典测度理论和积分理论是经典数学的重要基础理论之一，那么对于模糊数学这一刚刚诞生而又迅速崛起的新兴学科来说如何定义模糊测度和模糊积分，显然是一项非常有意义的工作。既然美国查德(L．A．Zadeh)把普通集合的概念于1965年推广到了模糊集合，对于测度理论，一种自然的想法便是设法建立模糊集合某一类上的测度，有人把这种测度叫做模糊测度，相应地，可以进一步建立模糊集合上某类函数的积分，并叫做模糊积分。

从事这方面研究的学者不少，并有很多有意义的结果。日本菅野道夫(M．Sugeno)于1974年首次提出了另一种意义下的模糊测度和模糊积分。

以前，我们曾考虑过一个确定的点对于一个模糊集合的隶属程度，它是经典集合论中点对集合的属于关系的一种推广。现在我们来考虑另一种推广，即考虑一个尚未确定的点对于分明集合(经典集合论中的集合)的属于关系。

因为在概率论中，一个事件的发生与否，是以一个样本点是否属于某个集合来描写的。但在信息不够充分的条件下，如何来判断一个点是否属于某个集合呢?我们可借用查德引进模糊集的想法来处理这一问题，即给出一个属于区间［0，1］的数来描写这个尚未确定的点属于该集合的程度(当然这种判断往往带有主观性)，也就是说，给出这个集合的一种度量。

概率测度就是这类度量中常用的一种，它有着完全客观的背景，但在许多场合下，这类度量并不都象概率测度那样具有可加性。如：设对某商店出售的一种服装进行评判，为简单起见，我们只考虑3个主要因素即花色式样，耐穿程度及价格，并由此来组成论域：U=｛花色式样(u₁)，耐穿程度(u₂)，价格(u₃)｝。我们不妨如下规定主要因素的重要性程度(即度量)：u(u1)=0．6，u(u2)=0．5，u(u3)=0．8，u(u1，u2)=0．7，u(u1，u3)=0．9，u(u₂，u₃)=0．8，u(u₁，u₂，u₃)=1，显然有u(u₁，u₂)≠u(u₁)+u(u₂)。

此外，人们对客观事物的主观评分通常可归结为一个集函数，它也往往不具有可加性。

基于上述想法，1974年菅野道夫提出了用比较弱的单调性来代替可加性的一类集函数，称之为模糊测度，并相应地定义了可测函数关于模糊测度的积分，他的理论已开始应用于主观评判过程等方面，在此我们考虑的就是菅野道夫提出后经拉列斯库(D．Ralescu)等推广了的模糊测度及其积分。由于模糊测度不具有可加性，它的结构就显得十分松散，以致想建立形如经典测度论中的理论体系一般是很难做到的，除非对模糊测度本身附加某些结构性的限制。

为此，国内外许多学者做了大量的尝试，得到了不少有意义的结果，但主要讨论大多是对模糊测度附加较强的次可加性或满足λ－律，甚至模糊可加性后得到的，具有一定的局限性。1984年王震源首次引进集函数的自连续性这一重要概念，自连续性与王震源同时提出的零可加性、一致自连续性等新概念一起，有效地刻划了许多类型非可加测度的宏观与微观结构。

对模糊测度附加这类要求，比之某些文献中所用的次可加性、模糊可加性、λ－律等条件要弱，它们之间的关系为：Fuzzy可加次可加一致自连续自连续；λ－律次可加(λ≤0一致自连续自连续。这些条件对模糊测度空间上可测函数列及模糊积分序列的收敛是本质的，且具有针对性，从而是十分有效的。

基于自连续性等新概念，许多专家学者做出了许多很有意义的结果。1984年宋仁明把自连续性等概念用于(N)模糊积分的研究，取得一系列有意义的结果，1984和1985年王震源等人讨论了可能性测度空间与模糊测度空间上可测函数序列各种收敛之间的关系，推广了经典测度论中着名的拉贝格(Lebsgue)定理、黎兹(F．Riesz)定理以及爱戈洛夫(Egoroff)定理等，并指出了经典测度中这些定理对测度可加性的依赖不是本质的。

这也为讨论可加测度空间上模糊积分序列的收敛打下了基础，1990年哈明虎、王熙照把自连续性等概念用于模糊集上(S)Fuzzy积分、(N)Fuzzy积分及Fuzzy泛积分，也取得了一系列很有意义的结果，1991年，王震源在总结自己及他人结果的基础上，撰写出专着《非可加测度理论及其应用》。

运用自连续性概念于模糊测度及其积分理论虽已取得较大成果，但有些问题尚须研究、探索，综合归纳起来大致为：(1)寻求比自连续性更弱的条件得到同样结论或者证明自连续性是某些定理或命题的最弱条件。

(2)自连续性的代数运算性质。(3)自连续性虽已应用于综合评判、模糊聚类、模糊模式识别等预策、决策系统，但还只是停留在理论研究上，在实际应用中取得重大突破者尚不多见。

(4)利用自连续性概念得到的非可加测度一般理论还有待于进一步发展、深化和完善。

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【参考文献】：

1 Zadeh L A. Information and Control, 1965,8:338～353

2 Sugeno M. Tokyo Institute of Technology, 1974

3 Ralescu D, et al. J Math Anal Appl,1980,75:562～570

4 Wang Zhenyuan. J Math Anal Appl,1984s99:195～218

5 Wang Zhenyuan, Fuzzy Sets and Systems,1985; 16: 277～ 290

6 宋仁明．模糊数学，1985．3∶91～106

7 哈明虎，等．河北大学学报(自然科学版)，1991，4∶17～21

8 王熙照，等．河北大学学报(自然科学版)，1991，1∶17～24

(河北大学王震源教授、哈明虎博士、王熙照撰)