谱几何的正问题反问题

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第86页（3877字）

设(M，g)是紧致的、连通的n维黎曼流形。

△是作用在C^∞(M)上的Laplace算子，则黎曼流形(M，g)的谱，记作Spec(M，g)定义为

Spec(M，g)=｛λ∈R｜△f=λf，λ≠0｝

称f是与λ相关的特征函数。其全体构成C^∞(M)的一个子空间P_λ(M，g)。它是有限维的，其维数m，是λ的重数。研究谱有关的几何学称为谱几何。若(M，g)的坐标图(U，Φ)的坐标为(x¹，…，

xⁿ)，则△的局部表达式为，这里(g_ij)=(g_ij)^－1，g=det(g_ij)

从20世纪40年代开始，A．Pleijel等人对Spec(M，g)作了研究，60年代S．Agmon等人逐渐发展了谱理论，M．Berger在1971年出版的专着《Le spectre d’une variété riemannienne》中系统地论述了谱几何，同时指出谱几何与近世代数、拓扑、现代分析、偏微分方程和物理等各个分支之间的联系。从70年代开始，法国Arthur L．Besse 几何学派的M．Berger、P．Bérard、S．Gallot、D．Meyer、M．Gromov、H．Urakawa、S．S Chern和S．T．Yau等相继获得了谱几何的成果。

M．Berger和P．Bérard于1983年出版了《Le spectre d’unevariété riemannienne en1982》，把谱几何的发展汇编成文献资料，为进一步开展谱几何的研究创造了极好的条件。尤其是P．Bérard于1986年出版了名着《Spectral geometry：direct and inverse problems》精辟地将谱几何的研究归纳成正问题和反问题两大类。

谱几何的理论同Hilbert空间的谱算子理论密切相关，为此，谱几何的正问题指的是：由黎曼几何的性质导出Hilbert空间算子理论的谱的特性。

谱几何的反问题指的是：由谱几何的信息导出黎曼流形的几何性质。

具体地说，谱几何的正问题由3部分内容所组成：(1)一些流形谱的计算；(2)关于特征值的信息；(3)谱的简单应用。谱几何的反问题系指由谱值确定流形的几何性质。

对于无边界的黎曼流形：球面(Sⁿ，g₀)，平坦环面(Rⁿ／Tⁿ，g)，平坦Klein瓶，实射影空间(Pⁿ(R)，g)，复射影空间Pⁿ(C)，四元数射影空间和Cayley八元数构作的射影平面，它们的谱已经知道。带有边界的Rⁿ中的圆盘，矩形块，直角三角形，扇形块；Rⁿ中的立方体，正四面体等等流形的谱的计算亦已解决。然而，R²中任意三角形内部区域，椭圆内部区域；Sⁿ中1／8的球面以及Sⁿ上任一球面三角形所围成区域的谱的计算至今尚未解决。当然，对于一些其他的流形的谱的计算将成为1个较复杂的问题。

特征值的估计是一个重要的研究课题。利用一些等周不等式找出第一个非零特征值的下控与上限是一个研究热点。进一步结合黎曼不变量，利用割迹、闭测地线的性质，讨论Pinching等问题是共同感兴趣的课题。

谱几何反问题的探讨是当今十分活跃的一个研究课题。若Spec(M，g)=Spec(N，h)，则称两个黎曼流形(M，g)和(N，h)是等谱的。

十分自然地问题：当Spec(M，g)=Spec(N，h)时，(M，g)与(N，h)是否等距，或者是否微分同胚，或者是否同胚，这是值得研究的问题。本问题具有正面的肯定。因为当Spec(M，g)=Spec(N，h)时，dimM=dim N。

此表明由谱可决定一个拓扑不变量，即流形的维数。此外，尚有vol(M，g)=vol(N，h)，故当dim M=2时，由Gauss-Bonnet公式，谱可决定另一个拓扑不变量，即Euler-Poincaré示性数。下面给出一系列肯定的回答。

若dimM=dimN=1，且spec(M，g)=Spec(N，h)，则(M，g)=(N，h)，意即两个黎曼流形(M，g)与(N，h)等距。

若(M，g)是球面(S²，g₀)，实射影平面(P²(R)，g₀)，平坦环面(T²，g₀)和平坦klein瓶K(a，b)这4种流形之一，则(M，g)可用谱加以确定。

若(M，g)是数量曲率为常数的曲面，且spec(M，g)=spec(N，h)，则(N，h)也是数量曲率为常数的曲面。

若(M，g)是截面曲率σ为常数的三维流形，且spec(M，g)=spec(N，h)，则(N，h)也是截面曲率为σ的三维流形。

若(M，g)是截面曲率为常数σ的四维流形，且spec(M，g)=spec(N，h)，x(M)=x(N)，则(N，h)也是截面曲率为σ的四维流形。

(Sⁿ，g₀)和(Pⁿ(R)g₀)当n≤4时，典型结构可用它们的谱予以鉴定。然而，当n≥5时，(Sⁿ，g₀)和(Pⁿ(R)，g₀)是否可用它们的谱来完全决定呢?退一步说在Sⁿ和Pⁿ(R)上的典型结构能否用它们的谱来决定，至今尚未解决。

本问题具有反面的否定。M．Kneser于1967年构作两个12维环面，它们等谱但不等距。

J．Milonr于1968年构作两个16维平坦环面，它们等谱但不等距，然而它们是同胚的。J．Ikeda于1980年证明存在等谱的曲率为+1的5维透镜空间，它们既不等距也不同胚。M．F．Vignéras于1980年证明存在等谱的曲率为－1的三维流形，它们既不等距也不同胚。

C．Gordon和E．Wilson分别于1983年和1984年给出例子，存在单参数族5维黎曼流形，使族中任意两个元素是等谱的，但不等距。

P．Bérard在N．Bourbaki 1988～1989年n⁰705上，结合近世代数，现代分析，偏微分方程等理论，论述了等谱与不等距的最新成果，把谱几何的研究推向了高潮。

。

【参考文献】：

1 WARNER F. Foundations of differential manifolds and Lie groups,Scott,Foresman and Co, 1971

2 Cheeger J. - EBIN , D. Comparison theorem in Riemannian geometry, North -Holland 1975

3 Berger M, Gauduchon P,Mazet E. Le spectre d'une variete riemannienne,NO 194 Springer 1971

4 Meyer D． Inegalites isoperimetriques et des applications, II, (ces actes)

5 Gromov M. Paul Levy's isoperimetric inequality,I H E S, 1980

6 Chen S S. Spectra of discrete uniform subgroups of semisim-ple Lie groups,Pacific J. Math. 1982,99

7 Berard P,Berger M. Le spectre d'une variete riemannienne, en 1982,Kaigei Publication 1983

8 Berard. P spectral geometry : direct and inverse problems, IMPA,1986

9 Gallot S. Sobolev inequalit and some geometric application, (ces actes)

10 Yau S T. Isoperimetric constants and the first eigenvalue of a compact Riemannian manifold, Ann Scien Ecole Norm Sup,1975,8

(南京大学马传渔教授撰；莫绍揆审)