随机算子方程理论
出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第93页（4082字）
是随机泛函分析的重要组成部分。
随机泛函分析，是概率论和泛函分析相互渗透与相互交错产生的一门新的数学分支。由于大量实际问题和应用科学中研究的自然现象是非决定性的，即带有随机性质，因而描述这类非决定性现象更为真实的数学模型，自然应是各种类型的随机方程。
而随机算子方程的研究，又在各类随机方程(随机积分方程、随机微分方程、随机积分微分方程、随机微分包含等)的研究中起着核心作用。这些，就导致了点值和集值随机算子理论的迅速发展。
关于点值和集值随机算子方程理论的主要问题，本质上和决定性点值与集值算子方程的理论相同，即有解的存在性、唯一性、特征、构造和逼近等问题。因此利用概率论和泛函分析的理论、技巧和方法研究各类随机方程随机解的存在性、唯一性，解集性质和给出各种求解方法，进而对随机现象给出规律性解释就是随机方程理论研究的主要内容。
20世纪50年代，以Spaŏek和Hanš为首的捷克布拉格学派对随机算子的不动点理论作了开创性工作，也对随机泛分析的早期发展作出了开拓性贡献。
1960年Hanš证明了随机Banach压缩算子随机不动点的存在定理。
1962年王梓坤率先在国内介绍了随机泛函分析理论并对随机算子理论作了大量工作。1969年Mukherjea和Bharucha-Reid证明了Schauder不动点定理的随机化推广。1972年Bharucha-Reid在《随机积分方程》中介绍了随机算子方程的可解性理论及其对求解各类随机积分方程中的应用。1971和1974年Tsokos-Padgett在《应用于随机系统的随机积分方程》和《应用于生命科学和工程中的随机积分方程》中研究了产生于各种应用科学中的随机代数方程、随机微分方程、随机差分方程和随机积分方程的可解性理论及解集性质。
1976年Bharucha-Reid发表了综述论文《随机分析中的不动点定理》，评论和综述了随机算子不动点理论及其应用已取得的成果，同时也提出若干值得研究的问题。此综述论文的发表大大促进和推动了点值和集值随机算子不动点理论，随机点值和集值算子方程求解理论，随机积分方程和随机微分方程理论和随机微分包含理论的迅速发展。
1977～1978年Itoh和Engl等首先研究了集值随机压缩算子和集值随机非扩张算子随机不动点的存在性问题。1978年和1981年，Engl和Bocsan分别在各自的假设下，对点值和集值随机算子证明一般随机不动点定理，即如果决定性算子的不动点存在，在任何条件下，相应的随机算子的随机不动点也存在。
这对弄清决定性算子理论和随机算子理论之间的本质联系和区别是非常必要的。
1977年Lee-Padgett推广Altman求解决定性算子方程的收缩理论，首先对点值随机算子引入了随机收缩概念，应用此概念研究点值随机算子方程解的存在唯一性及逼近解的迭代方法，同时也给出对随机非线性积分方程的应用。
由于这一理论自身不仅提供了非线性随机算子方程解的存在性与唯一性的理论依据，也给出了逼近解的近似方法而且有广泛的应用前景，从而引起国内外学者的广泛兴趣。1983年Padgett在《随机收缩方法及其对随机非线性方程的应用》中对这一理论的发展进行了评论和综述。
1979年Bharucha-Reid在其编辑出版《随机方程逼近解》一书中，集中总结和评述了随机算子方程逼近解理论研究的新成果和发展趋势。特别在由Nashed-Engl编写的《随机广义逆和随机算子方程逼近解》中指出了随机泛函分析发展的4个前沿方向。该文集对研究随机算子方程逼近解的学者是很有参考价值的文献。
1979年Itoh在Banach空间的可分闭凸子集上对点值和集值凝聚随机算子和非扩张算子证明随机不动点的存在定理并应用于随机微分方程，同年Andrus-Nishiura在Nowak的工作基础上证明集值随机算子的一般随机不动点定理，同时也将Boyd-Wong关于决定性非线性压缩算子的结果推广到集值随机非线性压缩算子的情形。
80年代，点值和集值随机算子和随机算子方程的理论及其在各领域的应用都有了迅速发展。
1982年Kravvaritis在Kannan-Salehi、Itoh和他本人在关于含有单值单调型随机算子的随机方程的有关结果的基础上，对含有集值单调型随机算子的随机方程和不等式获得了随机解的存在性定理。
其后Joshi、papageorgiou和Kravvaitis在一系列文章中对此问题有进一步的深入讨论。1986年N．X．Tan在较多的假设下研究了随机拟变分不等式随机解的存在性。
1981年Phǎn Chu’o’ng证明Kakutani-Ky Fan不动点定理的随机推广，并于1984年应用于证明集值随机Volterra积分方程随机解的存在性上。
自1981年以来，中国张石生、丁协平、刘作述、陈绍仲、林熙、傅俊义和卢同善等对各类随机点值和集值压缩型算子和非扩张型算子证明了随机不动点的存在性定理，讨论迭代逼近问题并给出了对于随机积分和微分方程的应用。
1984年丁协平对集值随机算子组证明随机不动点定理并给出了对于非线性随机积分和微分方程组的应用。
1983年Sehgal-Waters在适当条件下推广Itoh关于单值凝聚算子的不动点定理到非自映象情形，1984年他们又获得Browder-Fan型结果的随机推广，1985年Sehgal-Singh在紧凸假设下对集值连续随机算子证明了Ky Fan型随机最佳逼近定理和随机不动点定理。
1988年Lin对定义在闭球或闭凸集上的点值连续随机凝聚和非扩张算子证明了Ky Fan型随机最佳逼近定理和随机不动点定理。
关于具有非紧定义域的连续集值凝聚算子的Ky Fan型随机最佳逼近定理还是待解决的问题。
1986年以来，Papageorgiou在一系列论文中研究了集值随机算子的可测性问题，推广了具有各类连续性质的集值随机算子的一般随机不动点定理。讨论了点值和值集随机算子方程解的存在性定理，同时将所得结果广泛应用于随机微分包含理论并得到许多重要结果。
1983年Engl-Römish在具有非唯一解的非线性随机算子方程逼近解的收敛性上作了重要工作，1984年以来丁协平在Lee-Padgett工作的基础上对点值和集值随机算子组引入广义随机收缩概念，利用这些概念得到了点值和集值随机算子方程组解的存在唯一性定的和逼近随机解的迭代法。并给出了对于随机积分和微分方程组的应用。其后Reddy、邵永恒等在解集性质和应用上也作了重要工作。
关于点值和集值算子方程理论的另一活跃领域涉及70年代由Schweizer、Sklar和Sherwood等人奠定基础的概率度量空间理论和概率赋范空间理论，1979年中国游兆永首先在国内倡导PM－空间理论及其应用研究。
其后张石生、丁协平、龚怀云、曾文智、方锦宣和林熙、朱林户和郭铁信等对概率度量空间结构和不动点理论都作了一系列重要工作，特别是西安交通大学在随机赋范空间和随机度量空间的空间结构理论、线性算子理论等方面作出了重要贡献。为从空间随机化途径研究随机算子和随机算子方程进一步打下了理论基础，为随机泛函分进的进一步发展开避了新的途径。
。【参考文献】：1 王梓坤．数学进展，1962，5(1)：45～71
2 Bharuch - Reid A T. Bull. Amer Math Soc, 1976,82 (5 ): 641～657
3 ItohSA. Pacific J Math,1977,68:85～90
4 EnglHW. J. Math Anal Appl,1978,66:220～231
5 EnglHW. J. Math Anal Appl, 1979:261～273
6 Bharucha-Reid A T. Approximate Solution of Random E-quations, Amsterdam:North-Holland Publ,1979
7 Padgett W J. Prob Anal Related Topics,1983,3:195～255
8 丁协平．应用数学和力学，1984，5(4)：561～575
9 Kravvaritis D．J Math Anal Appl，1986；114：295～304
10 Papageorgiou N S．Proc Amer Math Soc，1986，97：507～514
(四川师范大学丁协平教授撰)