随机差分方程的稳定性理论

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第94页（1201字）

随机差分方程是差分方程和随机过程理论相结合而产生的一门科学，它与随机微分方程有着密切的联系，但也具有自身的特点。

在这一领域里，随机差分方程的稳定性理论的研究占有重要地位，而且关于稳定性理论在确定性差分方程和随机过程的基础上的研究进展较快，且其应用范围也越来越广泛，涉及到系统科学、工程控制、生态学等各个领域。

1961年，贝尔曼(R．Bellman)指出：概率论与古老的微分方程理论掺合起来是一项富有新意而且具有巨大吸引力的边缘学科。

随后许多学者在这一领域里进行了理论和应用两方面的深入研究，发展成为多门学科。在微分方程的求解方法中，差分法是一种重要的手段，这就要求深刻研究差分方程的一些性质，主要是差分方程稳定性的研究。这些研究与随机过程理论结合起来，就导致随机差分方程稳定性理论的研究。考虑这样一个随机系统(也称非线性随机差分方程)：X_n+1=f(X_n，V_n)，其初始条件X₀是一个给定的m维随机向量，f是一个连续实值向量函数，V_n是一个随机向量序列，则可知其解是一离散随机过程，给定一些限制条件，其解可以成为马尔可夫链(Markovuchain)。讨论其解在概率意义下的稳定性、渐近稳定性、全局稳定性，由于赋予概率意义，则稳定性的定义也就更广泛(如指数P稳定等等)，对线性差分方程，其研究可看成是式的特例。

1965年，贝西(R．C．Bucy)较简单地讨论了非线性随机差分方程的稳定性问题；1979年，俞中明结合差分方程稳定性的李雅普诺夫(Liapunov)函数方法和鞅论，进一步讨论了这类方程的稳定性，得到几个稳定性的充分条件。70年代，美国拉萨尔(J．P．Lasalle)发现李雅普诺夫函数与伯克霍夫(G．D．Birkhoff)极限集之间的关系，而得到不变原理。由这一原理可高度概括动力系统(含差分方程)稳定性的基本理论和最新成果。

1988年，王明文将这一原理应用到随机差分方程稳定性理论的研究中去，得到了几个较好的充分性条件，而且前人的工作只是特例。

关于随机差分方程的研究工作国外稍多一些，国内就很少有人研究。

主要工作也在于差分方程稳定性理论加了随机因素后的平行推广。近几年，有的学者在研究随机差分方程与连续随机过程之间的关系，特别是用随机差分方程去逼近随机微分方程的解，随机逼近理论的研究等将会有重要的意义，也是这一领域的热点之一。

再就是随机差分方程应用领域的研究，以往的模型大多不考虑随机因素，加入随机影响后，得到的特殊模型解的稳定性结构，这方面还可与计算机结合起来进行数学分析。另外的热点是高阶随机差分方程稳定性理论的研究，目前，这方面的研究工作还少见。

(江西师范大学王明文副教授撰)