多目标最优化

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第110页（2549字）

研究在一定限制条件下多于一个目标的最优化(极小化或极大化)。

其中心内容是多目标数学规划，或称向量极值。它是应用数学和运筹学的重要分支。多目标极小化问题记作，…，f_m(x))^T， (VMP)

其中x∈Rⁿ(n≥1)叫决策变量，f(x)∈R^m(m≥2)叫向量目标函数，叫约束集，记号V－min表示f(x)中的各目标被同时极小化。

多目标极大化问题记作。

(VMP)中的决策变量x和向量目标函数f(x)可以不限于欧氏空间，一般是将x和f(x)考虑为拓扑向量空间或其他抽象空间中的点进行研究。

多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。

1986年，法国帕莱托(V．Pareto)首先在经济平衡的研究中，考虑把本质上是不可比较的许多个目标化为单个目标的最优化问题，从而涉及多目标最优化并引进被称为帕莱托最优的概念。1947年，冯·诺意曼(J．Von Neuman)和莫根施特恩(O．Morgenstern)提出在许多决策者彼此有矛盾的情况下的多目标决策问题。1951年，库普曼斯(T．C．Koopmans)从生产和分配的效率分析中考虑了多目标最优化问题，引入有效解的定义，并获得某些基本结果。同年，库恩(H．W．Kuhn)和塔克尔(A．W．Tucker)从研究数学规划的角度讨论了向量极值问题，也得到一些理论结果。

1963年，扎德(L．A．Zadeh)则从控制论的研究中考虑了多目标最优化问题，引进了非劣解概念并得出某些结论。这些工作为多目标最优化学科的形成奠定了初步理论基础。

在多目标最优化的进一步发展中，首先是1968年杰夫里翁(A．M．Geoffrion)为排除变态的有效解，给出了恰当有效解概念，从而获得线性加权和标量化的完备定理。1974年，游伯龙(P．L．Yu)在目标空间用一般的凸锥和由点集映射定义的控制结构表述偏爱关系，引入了锥极解和非受控解，同时得到一些有关理论结果。他的工作对以后的研究产生了相当大的影响。

在上述工作的基础上，在1977～1983年间，鲍温(J．M．Borwein)、本森(H．P．Benson)和海尼格(M．I．Henig)等又分别引进在锥意义下的各种恰当有效解，并展开了广泛的讨论，取得若干一般性的结果。

1992年，胡毓达(Y．D．Hu)借助由目标空间中一类特殊的非凸锥确定的较多序类，定义了多目标最优化的一类较多有效解和较多最优解。这些解利用问题中较多个目标的信息，更仔细地刻划了多目标最优化问题。

各种解的存在性、几何特性、最优性条件，以及解集的结构等，是多目标最优化研究中的重要理论问题。自70年代以来，多目标最优化问题的解关于约束集和控制结构的稳定性，则是多目标最优化研究的又一重要领域。

然而，至今在这方面的工作尚不多。1979年内卡彻(P．H．Naccache)，以及1980年塔尼诺(T．Tanino)和萨瓦拉吉(Y．Sawaragii)的研究具有基本意义。

另外，对偶理论是多目标最优化中具有丰富内容的研究方向。自1977年以来，伊塞曼(H．Isermann)、纳卡雅玛(H．Nakayama)、杰翰(J．Jahn)和林锉云(C．Y．Lin)等在拉格朗日(Lagrange)对偶、共轭对偶、对称对偶和自身对偶诸方面，已取得不少有价值的成果。

在求解多目标最优化问题的方法上，从1971年贝纳杨(R．Benayoun)等提出第一个交互规划方法以后，由决策者和分析者交互进行求解的多目标交互规划方法受到人们广泛的重视。1972年由杰夫里翁(A．M．Geoffrion)和戴埃(J．S．Dyer)以及1976年由齐翁茨(S．Zionts)和华利尼斯(J．Wallenies)提出的方法，是多目标交互规划方法中有代表性的着名方法。自60年代以来，多目标最优化的应用在国际上获得普遍成果。解决问题的规模已达数千个变量和上千个目标。

当前，多目标最优化的研究在以下诸方面受到学者们的重视和关注：(1)关于各种解的性质的进一步探讨，特别是关于解集拓扑性质的研究。(2)无限维问题，即抽象空间中的多目标最优化问题。

(3)不可微多目标最优化问题。(4)新的多目标交互规划方法。

(5)多目标最优化在各领域的有效应用。研究多目标最优化理论与一般抽象空间有密切联系，它的不少理论问题尚有待进一步深入和发展。

。【参考文献】：

1 Koopmans T C. Cowies commission monograph. New York: Wiley, 1951,13

2 Kuhn H W, Tucker A W. Proceedings of the second Berkeley symposium on mathematical statistics and probability. California Berkeley, 1951,481～492

3 Geoffrion A M. J Math Anal Appl,1968,22:618～630

4 Benayoun R. de Montgolfier,J, Tergny, J &Iaritchev,O. , Math, prog,1971,1(3):366～375

5 Yu P L. J Optim Theory Appl, 1974,14:319～377

6 Hu Y D. Optimization:techniques and applications, 1992, 1:368～374

(上海交通大学胡毓达教授撰)