边界元若干基本概念

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第139页（7772字）

20世纪60年代是大型计算机发展的起点，计算机硬件从那时起开始发展，这是促成有限元法作为工程计算工具出现的最为重要的因素；当时，有限元法开始成为最方便、最通用的数值方法。

虽说有限元法因其通用性以及有可能以更加符合实际的方式描述工程问题而被很快接受，但必须提供复杂的几何定义，例如节点的坐标，单元体的连接，等等。大量的信息需要编码，而且所得的大量输出使有限元系统不便使用，它的解难以分析。

为此，70～80年代研制了前处理程序模块和后处理程序模块等软件。

70年代初，为解决上述困难，开始寻找问题的其它理论解。以这些方法为基础，出现了用于桥梁或高层建筑的有限条法、任意有限差分法与配置法的结合、某种矩阵级数或矩阵传递法等数值方法。同时，对混合原理的研究(主要与有限元结合起来)是以麻省理工学院的工作为出发点的，在Washizu的工作中能够找到对这些方法在结构力学中的解释。这些方法的发展与边界积分方程方法应用方面的新进展相平行地进行。在那以前，边界积分方程方法应当认为是不同类型的解析法，与工程中使用的近似法没有多大关系。

现代边界积分方程法也与Fredholm的工作有直接关系。

他基于离散化的程式讨论了方程的解。Hass和Smith在1962年把Freddholm型的第2类积分方程用数值形式表示了出来，并以此法计算了在均匀势流中轴对称体所引起的扰动。Tom Cruse应用边界积分方程求解弹性动力学问题；Richard Shaw给出了暂态波散射问题的边界积分解。

Shaw的另一些重要工作包括用间接边界积分公式求解弹性动力学问题，以及三维散射问题，流体与结构的交互作用，本征值问题，扩散问题和渐近展开解等问题。

边界元的另一位先驱者是Maurice Jaswon，Jaswon。

1963年发表了一篇关于扭转问题的积分方程解法的文章。他利用第2类积分方程把该问题用翘曲函数表示出来，并用数值法求解了问题，得到了抗扭刚度和边界剪应力，这是有效利用边值和法向导数之间的积分关系的最早的论文之一。此外，在1963年，Jaswon用第1类Fredholm积分描述了静电电容问题George Symm用数值法求解了这个方程。他们对此又加以修正，以便用保角映射来求解该问题。

Jaswon ctal还用两个调和函数把平面弹性静力学问题描写成Airy应力函数问题，从而得到了两个单层密度的，有耦合的积分方程。

在60年代，南安普顿大学的一个小组，就开始了应用积分方程求解应力分析问题。

边界积分方程的进一步工作在1972年也是在南安普顿大学召开的第1届国际工程中的变分方法会议上报道过。

南安普顿大学Lachat的工作最早把高阶元用于弹性静力学。

70年代在边界积分的研究与应用方面活动日益频繁。南安普顿大学提出的利用曲线元的思想，由Cruse针对三维弹性应力分析加以发展。

Cruse还提出根据表面力如何求得表面应力的方法，而且指出把内部的体积载荷转化成边界载荷的方法。

70年代已开始召开专门讨论边界积分或者更专门讨论边界元法的会议。

1977年组织了一次边界积分方程法在应用力学中的计算应用的研讨会。1977年Jaswon和Symm还出版了《关于位势理论和弹性静力学中积分方程方法》一书，其中包括Rizzo的弹性静力学公式与Kupradze的早期公式之间等价证明的颇有独创性的资料。

1978年由C．Brebbia所着的第一本以边界元作为书名的专着问世。这本书的重要性在于指出了边界元法与其它工程方法(特别是有限元法)的相互关系。

而且Brebbia还首先指出如何利用加权残值法推出边界积分方程。

到70年代末，边界元法的一些较重要的特点以及它与经典的边界积分公式之间的差别，已为人们清楚了解。

80年代边界元法得到了巩固和进一步的工程应用。在70年代后期和80年代初，边界元方法被推广到解决材料非线性和与时间有依从关系的问题，其中包括双曲型的和抛物型的问题。

早在70年代初，边界元法就开始用于求解弹性力学问题，这方面，它一直是特别成功的。

在早期阶段，因为边界积分方程的表示方法能达到很高的数值精确度，所以它们对求解断裂力学和应力集中问题变得很有吸引力。

首次利用边界积分方程作弹性断裂力学分析的，是Cruse和Burem在1971年的工作，他们以张开缺口来模拟裂纹。对于这种情况，由于当两个裂纹表面接近时，方程组变成奇异的，所以边界元的结果一般不很精确。

Blandford，Ingraffea和Liggett在1981年建议再细分区域以避开奇异性。这种方法仅要求各个表面在彼此接近时，处于不同的子区域内。

Snyder和Cruse首先提出应用计及裂纹表面无应力条件的特殊基本解。这种方法的优点是不需要离散裂纹表面。另一种方法是所谓位错表示法。这种方用积分式子描写裂纹表面上的内部应力，从而产生高阶奇异性。

弹性静力学中关于应力强度因子计算的工作，最近由Sato，Tanaka和Nakamura作了报道，而Martine和Dominguez则发表了用四分之一节点元来表示裂纹顶端的奇异性，最近又把它推广到计算动态应力集中因子。

范天佑和Hahn最近报道了边界元法在动态断裂力学中的应用。

利用边界积分方程解决非弹性问题始于70年代，这个主题的第1篇论文，看来应归于Swedlow和Crusc。该文提出了含有塑性应主变项的Somigliana恒等式的推广形式。

这个表示法是以直接法作为基础的，由此得出了三维问题的表达式。

在1973年，Ricardella首次利用边界元法给出了弹塑性问题的数值结果。

他对二维问题采用了von Mises屈服准则。Mendelson寸论了弹塑性问题的不同积分公式，即直接公式、间接公式和报告中称为半直接法的直接双调和公式。

报告给出了包括圆轴受扭情况的某些简单问题的解。Mendelson还给出了二维和三维情况下的内应力表达式。

把边界元道次应用于粘塑性应归功于Chaudonneret，他在1977年利用直接公式来研究带缺口的平板，并把所得结果与实验值进行比较，所提出的积分方程具有“初始应力”的形式，他利用线性边界元和常值矩形元来作数值计算。

1978年，Bui对奇异非弹性项积分的导数提出过一个恰当的表示式，他证明了与求导有关的自由项的存在。

这工作终于求得了非弹性应力的正确表示式，从而是一项重大突破。继此工作之后，Mukherjee和Kumar成功地完成了与时间相关的非弹性幂律蠕变分析，他们对于边界未知量和非弹性应变运用了预校正时间积分格式和常值插值。

1981年，Tclles和Brebbia把弹塑性体的半平面基本解用于边界元而求解了半无限问题。这时，在半平面的自由表面上的面力无需进行边界离散。

此外，1981年他们还利用Pcryzna的本构模型成功地引起了可以统一处理塑性、蠕变和粘塑性准则。

Brunet处理了循环塑性，并表明用边界元法求解承受任意载荷的弹塑性硬化问题结果很好。他用的是带有应变记忆效应的线性和非线性硬化的本构定律。

粘弹性问题的边界元法，早期是用Laplace变换以及在变换平面内用相应的准弹性原理求解的。1985年Tanaka提出了利用时空倒易原理以及利用时空变量表示的基本解。他的结论是，依赖于时间的方法很可以代替变换方法。

Mukherjee的研究小组把边界元用于包含粘塑性变形在内的大应变和大变形问题，做了一系列工作，而且在1983年把这些思路推广到解决金属成型问题。

最近，Mukherjee和Poddar对承受任意载荷的任意形状壳体提出了非弹性表示式，但仅对弹性情况有数值结果。

1973年，Chang的工作是一项重大的进展。他使用与时间有关的基本解和直接边界元表示式，求解了各向异性介质和各向同性介质中的暂态扩散问题，在时间和空间上全部用常值离散。

1980年，Brebbia和Walker提出另一种方法求解除了暂态扩散问题，即同时利用边界元和有限差分方法，这里的时间导数是以有限差分的形式加以近似，以在时间域上求解。

1980年，Tanaka利用他的“边界体积”元法研究了暂态热传导问题。

这种方法除了要用与边界元有关的方程外，对于内部区域还要附加方程。之后，这种方法应当用来求解线性和非线性的热传导问题。

1985年Nardin和Brebbia提出把他们用以解动力问题的新的方法加以推广以求解抛物型问题。

这个方法现在称为双互易法，这个表示式通过对时间有关的域内的积分引入一种近似，使这些积分可以变换成边界上的表达式，这样就把问题化到边界上去了。

这种变换是再次利用互易原理实现的，因此其名称为双互易法。1986年该法被用来求解了一些实际的工程问题。

边界元法在暂态地下水流问题中的应用，是Liggett、Liu和Liggett以及Lennon等的工作所完成的。在多孔介质中两种流体之间的移动界面，在假设不计混合的条件下(即轮廓分明的交界面模型)，由Liu等所讨论。

到目前为止，很少有人利用二维与时间有关的基本解，以数值方法求解波的传播问题。Cole等把标量波方程的二维时域积分方程应用求解暂态弹性动力的反平面运动。

Mansur和Brebbia应用边界元法分析了遵从二维标量波方程的暂态问题。他们从加权残值出发，利用Grccn定理先推出了由Morse和Feshbach所获得的相同积分方程。

接着，作进一步的变换消去积分方程中出现的Heaviside函数的导数，从而得出一个能用于数值解的通用方法。他们采用类似于Cole等人提出的时间步长方法来获得时域解。

Crusc和Rizzo最早利用Laplace变换来消除问题中对时间的依赖关系，把边界积分法用来求解弹性动力学问题。Manols和Beskos推广了Cruse的工作，利用Fourier变换代替Laplace变换，结果是他们的表示式给出比Crusc和Rizzo所得结果更好的数值结果。

Kobayashi、Niwa、Nishimura等人研究了弹性动力学问题的稳态解。他们在频域内获得暂态响应的解；他们的研究集中于地质力学和孔洞周围应力状态方面。

Kobayashi和Nishimura讨论了利用Laplace变换推导Green张量的形式，还得到了稳态弹性动力学的Mindlin解。1983年他们应用半无限元对二维的土工结构相互作用问题作了研究。

Nardini和Brebbia提出了本征值和暂态动力问题的边界元解的一种有创见的新方法。这种方法可以把质量矩阵表示为仅是边界节点的函数。这样，弹性动力学问题就可以用类似于有限元或有限差分中的方法来处理，即把问题化为矩阵形式的与时间有关的微分方程组。

一般流体的流动规律是由Navier－Stokes方程所描写，能描写不可压缩流动，也能描写可压缩流动。

有许多有限差分的解和有限元的解是以所谓“原始”方法作为基础的，也就是说，Navier-Stokes方程用速度和压力来表示出来，不过这种表示式常常不稳定，特别对于不可压缩流体。因此，对于许多二维问题，人们采用守恒的表示式，也就是说，用流函数和涡量来表示或仅用流函数来表示。

Lighthill提出，利用速度和涡量作为因变量可以获得Navier-Stokes方程的另一种方便的形式。

这样，有可能把方程组分离成运动学部分和动力学部分。后者把任一给定时刻的速度场通过一个积分关系与该时刻的涡量场联系起来。

Onishi、Kuroki和Tanaka对自然对流问题，提出了一个以流函数、涡量和温度作为变量的表示式。

Bush和Tanner以弹性力学的Navier方程作为基础，即利用“准体力”的表示方法，导得一个表达式。他们的表示式经过推广，利用Oseen的线性化方法，解决了外部流动问题。

对于定常缓慢蠕行的不可压缩粘性流动情况，Youngren和Acrivos以速度和压力作为自变量，利用弹性力学的基本解，获得了三维问题和轴对称问题的精确结果。

该表示式还被Bush和Tanner用来分析球体的蠕行运动，被Okabe和Kikuchi用于研究矩形域内部的二维流动问题。

Kelmanson以流函数和涡量作为自变量提出了另一种表示式，将其用于诸如奇异流动、尖角附近流动和自由面流动这样一些复杂问题的分析。最近Ingham和Kelmanson将这种方法加以推广，用于润滑技术的分析。

平板弯曲的边界元表示式源于Jaswon，Maiti和Symm1967年的论文，该文利用位势理论给出二维弹性静力学双调和方程的解。1968年，Jaswon和Maiti把同一表示式应用于薄板的横向挠曲。

1979年，Stern更完整地提出了平板弯曲的边界积分方程。他的工作阐明了平板弯曲时，角点所引起的问题和积分方程的收敛性。在《边界元进展》一书中给出了薄板裂纹的应力强度因子显式基本解。他还认识到对于直接方法而言，选择内点还是边界点作为参考点，对基本解提出的要求有原则的差别，由此丰富了边界积分方程各种可采纳的基本解，从而又产生了一新的表示式。

Van Weeen对平板弯曲应用了Rcissner理论。这个理论考虑了板横向弯曲时的剪切变形，由此可以得到以弯矩和剪应力合量表示的偏微分方程组。

这种方法比起薄板理论来，主要优点在于可以满足3个原来的边界条件，而用不到像薄板理论中所做的那样，把它们化为2个边界条件。

Kamiya等求解了夹层板的弯曲问题；Tanaka处理了若干薄板大挠度问题；Kin研究了板的应力集中问题。Tahaka和Miyazaki分析了承受弯曲和薄膜载荷的平板问题，而且研究了装配板结构的情况Costa和Brebbia针对平板的屈曲分析提出了一种边界元表示式，并指出该法对这一类问题可以得到极为精确的结果。

McDonald和Wexler，他们把关于有限元和边界积分方程联合方法应用于电磁场。

Shaw和Falby及Osias等于1977年发表了关于联合法的论文。Zienkiewicz等试图利用能量法把边界元矩阵转换成等价的有限元矩阵而且使之对称化，遗憾的是，因为他们对于变分概念作了错误的解释，从而他们的论点是错误的。

利用边界元所获得的有限元型矩阵的对称化，常常包括某种误差，正如Brebbiaa于1978年所指出的那样。

Brebbia和Georgiou于1979年讨论了能够使用的两种联合形式：一是把边界元区域作为有限元区域来处理；另一是把有限元区域转变为边界元区域。两种方法，如果没有像在矩阵对称化时所引起的那种数值误差或近似，就会给出同样的结果。1981年，Margulies提出了另外一种方法，利用双重积分把有限元和边界元联合起来。Beet和Meek于1981年把两种方法联合起来处理了弹塑性力学的无限域问题。边界元和有限元的联合法现已相当成熟，并且用于许多计算机的编码之中。

用边界元法研究接触问题这一重要的非线性问题有独特的优点，但是出人意料的是直到目前为止对这问题的研究还很少。首次应用是Andersson作出的，他利用增量法，按照问题的提法一个节点一个节点地进行。1984年，Bezine和Fortune发表过一篇平板弯曲的文章，也用类似的方式处理了接触问题。AbdulMihsein，Bakr和Parker于1986年利用二次元把这个方法推广到轴对称问题；而Paris和Garrido则利用间断的线性元做了同样的事情。

1986年Kuich提出另一种采用柔度矩阵的方法，在此表示式中，先对构件形成柔度矩阵，然后利用特殊的程式找到接触中的实际表面。

边界元法的某些优点，早已用于求解复位势问题，尤其是静电学问题。

它们在电力工程中的一些有趣的应用包括研究近海结构的阴极保护系统，而这方法是现在在工程实践中已被人们认可的功能齐全的计算机编码的早期发展的起点。

随同功能强大超级计算机的出现，最近研制出的新的优化算法重新对形状优化发生了兴趣，边界元法在这方面是理想的工具。

Soares等利用Pshenichny线性化方法求解了非线性问题。

关于几何非线性问题的应用，除已述及的特殊问题外，其余是很少有人研究论述的。

(中南工业大学王嘉新撰)