巴拿赫空间结构理论
出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第37页（4153字）
是泛函分析最重要的组成部分。
1932年波兰巴拿赫(S．Banacn)的专着《线性运算理论》(Théorie des opérations lineaires)的出现，标志着对赋范线性空间和巴拿赫空间理论系统研究的开始。在巴拿赫的光辉着作中提出巴拿赫空间理论的许多问题，它综合代数几何和分析的观点和方法，在这种框架中，古典数学的方法统一成近代的方法，而这种统一的方式是十分和谐和非常用效的。就巴拿赫空间理论而言，已经派生出许多新分支，内容十分丰富。巴纳赫空间结构理论是拿赫空间理论中最活跃发展的分支之一。
自从1936年克拉克松(J．A．Clarkson)为了推广拉东－尼科丁(Radon-Nikodym)定理提出一致凸性并研究L0(1＜p＜∞)的一致凸性以来，开展了对巴拿赫空间范数严格凸(strictly convex)、一致凸(uniformly convex)、局部一致凸(locally uniformly convex)和弱局部一致凸(weakly locally uniformly convex)以及与之相联系的各种光滑性(smoothnees)的研究。1958年樊畿(K．Fan)和格利克斯柏格(I．Glicksberg)研究贱范线性空间球面的几何性质。1963年林顿斯塔斯(J．Lindenstrauss)用比绍普－费普斯(Bishop-Phelps)定理建立光滑点(smooth plint)和强光滑点(Strongly smooth point)的存在性之间的联系。相继用凸性模和光滑模刻画空间的凸性和光滑性。
研究空间范数的各种可微性，进而研究巴赫空间上的凸函数的可微性。1950年吉姆斯(R．C．James)给出用绍德(Schauder)基刻画空间的自反性(reflexivity)。1957年吉姆斯构造了在理论上非常重要的巴拿赫空间J、空间J等距同构与它的第2共轭空间J* *，J的典则映射像在J* *中余维为一，并且J的笛卡平方不同构于J的任何子空间。1964年吉姆斯给出了空间非自反的各种条件。
1972年给出了空间超自反(super reflexive)的种种条件。相继开展了在不同的条件下空间是自反、超自反和次自反的各种研究。
关于绍德(Schauder)基的研究是巴拿赫空间结构的重要问题之一。但是，很长一段时间困惑着人们的问题是：常见的可分巴拿赫空间都具有绍德基，是否每个可分巴拿赫空间都具有绍德基?因为常见的可分巴拿赫空间都具有绍德基。
这就是着名的巴拿赫空间基的存在性问题。1973年恩夫劳(P．Enflo)的光辉反例给此以否定的回答。他研究了比空间具有绍德基稍弱的性质即空间的逼近性质(approximation property)。他用组合数学方法构造出不具有逼近性质的可分巴拿赫空间。
每个巴拿赫空间都具有基序列(basiic sequence)。
这一事实是由着名的马祖尔(Mazur)引理得出的结论。
1955年Mazur提出：是否每个巴拿赫空间都具有无条件基序列(unconditional basic sequence)?这就是所谓的“无条件基序列问题”。经过多年的研究，于1990年高瓦斯(W．T．Gowers)证明这个问题的答案是否定的。
关于巴拿赫空间的无穷维子空间问题。主要研究一般巴拿赫空间与经典巴拿赫空间的关系。历来巴拿赫空间结构理论研究的集中点之一是想找出可以等距同构地嵌入到每个无穷维巴拿赫空间的那些“基本”空间。
从经典巴拿赫空间理论的观点出发，人们可以指望在一般巴拿赫空间中能够找到的“基本”空间当然是co和Lp(1≤p＜∞)。
1930年巴拿赫就提出是否每个巴拿赫空间必含有一个子空间几乎等距于co和Lp(某个p1≤p＜∞)。几乎一切常见的经典巴拿赫空间都含有co－副本或者Lp－副本(1≤p＜∞)。
但是这个问题却是否定的。1974年崔尔松(B．S．Tsirelson)构造出一个不含co－副本也不含Lp－副本(1≤p＜∞)的具有无条件基的无穷维自反巴拿赫空间。1976年费格(T．Figiel)和约翰逊(W．B．Johnson)给出一个具有这种性质的一致凸巴拿赫空间。那么是否每个巴拿赫空间必含一个无穷维子空间是自反的，或者同构于Co或者Lp?这就是所谓的James三分法问题。1974年罗申塔尔(H．Rosenthal)的两分法准则把这一问题的解决大大推进一步。Rlsenthal证明：巴拿赫空间的每个有界序列或者含有一个子序列等价于L1的单位向量基或者含有一个弱Cauchy子序列。
除此之外，是否巴赫空间有一子空间，它或者同构于一个共轭空间或者同构于co吗?如果巴拿赫空间不含Lp－副本，是否此空间有一子空间具有可分共轭空间?这些问题有待进一步研究。
关于可余子空间问题，1960年培辛斯基(A．Pelczynski)给出Co和Lp(1≤p＜∞)的可余子空间的一个完全刻画即空间co和Lp(1＜p≤∞)的每个无穷维子空间同构于原空间本身。其证明的方法被称为Pelczynski分解法。由此开展了对空间的素性(prime)和素型性质(primary)的研究。
如果无穷维巴拿赫空间X的每个无穷维可余子空间都同构于X，则称X是素空间。除了Co和Lp是素空间外，1967年J．Lindenstrauss证明L∞是素型空间并猜想()rlicz序数空间是素空间，但是至今还没有证明。厄尔斯杷奇(D．E．Alspach)于1977年研究了序数上的连续函数空间的素型性质。1977年卡萨扎(P．G．Casazza)证明吉姆斯次自反空间是素型空间。
1983年安助(A．D．Andrew)证明空间JT是素型空间。
1983年布根(J．Bourgain)研究了H(∞)的素型性质。1981年埃德加(G．A．Edgar)提出巴拿赫空间的二元序理论在研究原空间共轭空间和其上的伴随算子性质的深层次上比较两个巴拿赫空间，从而给出了巴拿赫空间的分类新方法。1974年霍夫曼(J．Hoffman)提出了“型”(type)的概念。
1986年米尔曼(V．Milman)和皮席(G．Pisier)提出了“弱余型－2”(w-cotype－2)的概念。用型和余型对巴拿赫空间和巴拿赫空间上的算子的结构进行分类。1989年G．Pisier用弱型－2和弱余型－2引进了一类新的巴拿赫空间，即所谓弱项伯特(w－Hilbert)空间。
把概率论和逼近论的方法结合起来用于结构理论的研究。
预计在未来的研究中将会集中在以下这些问题上：(1)有限维子空间与无穷维空间的结构联系，特别是它们的局部性和渐近性质。(2)用鞅、鞅型序列和解析鞅等研究巴拿赫空间的各种几性质。
(3)用巴拿赫－马祖尔距离从度量上刻画各种结构性质。(4)与调和分析方法相结合研究空间结构性质。
把研究巴拿赫空间上算子性质与空间的结构性质结构起来，如用经典函数论研究巴拿赫空间上的算子函数与空间结构性质以及巴拿赫空间上凸函数和各种函数的可微性和非线性几何性质。(5)开展对次巴拿赫空间结构性质的研究等。
。【参考文献】：1 Enflo P.Acta Math,1973,130:309～317
2 Lindenstrauss J, et al. Classical Banach spaces I Function spaces. Berlin Heidelberg, New York, Springer - Verlag, 1979,1～188
3 Banach S. Theory of linear operations, Amsterdam. New York, Oxford, Tokyo,North - Holland Mathematical Library, 1987,38:1～162
4 Pleczynski A. Some aspects of the present theory of Banach spaces. Amsterdam, New York,Oxford, Tokyo, North - Holland Mathematical Library, 1987,38:l63～30。
5 Johnson W B, et al. Israel J of Math,198,64(3) :267～276
6 Tomczak-Jaegermann N. Banach-Mazur distances and finite dimensional operator ideals, Pitman, 1988
7 Pisier G. The volume of convex bodies and Banach space geometry. Cambridge, Cam-bridge:university press, 1989,1 ～250
8 Gowers W T. Ph D Thesis Cambridge University,1990,8
9 KaltonN J, et al. Israel J of Math,1990,72(3) :299～312
10 赵俊峰．Banach空间结构理论．武汉：武汉大学出版社，1991，1～490
(武汉大学赵俊峰教授撰)