黎曼流形特征值的估计

书籍:现代科技综述大辞典上 更新时间:2018-10-01 05:45:20

出处:按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第88页(2254字)

谱几何正问题的一个重要研究课题是计算流形的谱。

通常直接算出流形的谱是十分困难的,为此要对特征值(即谱值)进行估计,找出其下控与上界。此问题引伸到等周不等式的探讨,以及Pinching问题的研究,此外,在物理学中,确定鼓膜的形状也需用特征值的计算。

设(M,g)是紧致、连通的黎曼流形,则黎曼流形(M,g)的谱:

Spec(M,g)={λ∈R|△f=λf,λ≠0,f∈C(M)},

这里△是作用在C(M)上的Laplace算子。

Spec(M,g)={0=λ0<λ1<λ2<…∞}

黎曼流形(M,g)的剖分函数Z(t)定义为Z(t)=Σmie↑(-λit,这里mi为特征值的λi的重数。

由Z(t)可决定(M,g)的谱值和其重数。Minakshisundaram-Pleijel于1949年得到剖分函数的渐近展开式:,这里ak是黎曼不变量。

实际上是流形M的曲率张量与其各阶共变导数的函数。根据Mckean-Singer引入的正交不变量方法,可得到a0=vol(M,g),,这里τ是数量曲率,ρ是Ricci曲率,R是黎曼曲率。a3已由T.Sakai于1971年算出,而当k≥4时,ak几何意义至今尚不知。

第1个非零特征值λ1的计算,不仅在谱几何研究中具有一定的理论价值,而且在鼓膜振动和波方程中也具有应用价值,A.Lichnerowicz于1958年指出:设(M,g),是一个n维紧致的黎曼流形,若存在正数k>0,使得ρ≥kg,其中ρ为Ricci张量,则△的第1个非零特征值λ1,满足。它的逆定理就是M.Obata于1962年建立的Obata定理:设(M,g)是一个n维紧致的黎曼流形,若存在正数k>0,使得ρ≥kg,并且,则(M,g)与(Sn,g0)等距。J.Cheeger于1970年得到λ1的极小值原理:

这里H1(M)是与1正交的一切C1函数所构成的空间。

如果采用范数,则H1(M)关于范数‖f‖1是完全的。J.Cheeger于1968年得到λ1的上界:如果对于任一自然数n,存在一数h(n)≥0,使得n维紧致黎曼流形(M,g)的截面曲率大于或等于0,则λ1≤h(n)×[diam(M,g)]2。在此,依赖于n的h(n)如何选择为最佳?曲率非负的条件能否去掉,这一切有待于进一步改正。Cheeger定理的证明与流形(M,g)上一点m的割迹C(m)密切相关,而割迹的研究又同闭测地线的性质相联系,为此,闭测地线理论与割迹性质的研究推动了谱几何学科向纵深发展。

假设流形(M,g)可分为两个开子流形M1和M2,并以闭子流形S为其共同边界,记

这是M.Berger于1970年建立的,本结果的证明需用Morse临界点理论。至于是否为λ1的最好下界?这个问题至今尚未解决。

此外,对第2个非零特征值λ2是否有估算的必要?如果要进行计算,其下控与上界又是如何?这一切问题既难而有趣。

设D是(Rn,g0)中光滑的有界区域,区域D中Dirichlet特征值为{λk}。置N(λ)=Card{j|λj≤λ},则当λ→+∞时,N(λ)~C(n)vol(D)λn/2,这里C(n)=(2π)-n volBn,Bn是Rn中的单位球,这就是H.Weyl于1911年建立的渐近公式,换一种写法为N(λ)=Card{j|λj≤λ}=C(n)vol(M,g)λn/2+0(λn/2)。假设(M,g)是无边界、连通的黎曼流形,1956年Avakumovic和1968年L.Hormander指出,认为这个估计是最佳的。

1975年J.Duistermat和V.Guellemen认为R(λ)=N(λ)-C(n)vol(M,g)λn/2与(M,g)测地线流关系密切。粗略地说,R(λ)为阶当且仅当(M,g)的测地线流是周期的,即所有测地线是具有相同周期的闭测地线。

例如,球面Sn上所有测地线是以2π为周期的周期测地线。同样可粗略地说:如果测地线流不是周期的,则。1976年P.Berard和B.Randol,对于负曲率流形证明。一般对R(λ)的研究是较为困难的,它要用数论知识。

对带有边界的流形,困难就更大了。然而为了计算、估计流形的谱,这一领域的工作仍是一个研究热点。

。【参考文献】:

1 Obata M.J Math Soc Japan, 1962,14

2 Cheeger J. Archiv Der Math, 1968,19

3 Urakawa H. Proc Japan Acad,1977,53

4 Li P,Zhong J Q. Invent Math,1981,65

5 Berard P. IMPA

(南京大学传渔教授撰;莫绍揆审)

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