一个总体平均数的置信区间

出处：按学科分类—哲学、宗教 上海教育出版社《心理学大辞典下卷》第1526页（642字）

区间估计置信区间的一种。

一个总体平均数的置信区间分两种情况。(1)设总体X～N(μ，σ²)，方差σ²已知，(X₁，X₂，…，X_n)是取自X的随机样本，构造统计量服从标准正态分布，当置信度为1－α时，可查标准正态分布表得双侧α百分位点Z_α／2，满足P｛－Z_α／2≤≤Z_α／2｝=1－α，进一步改写为P｛－Z_α／2·≤μ≤+Z_α／2·｝=1－α，从而μ的置信度为(1－α)(或100(1－α)%)的置信区间为(－Z_α／2·，+Z_α／2·)，或写成μ∈±Z_α／2·。该置信区间亦可使用于下列情况：若X的分布未知或非正态，当样本容量n足够大(如大于30)，上面的统计量Z接近于N(0，1)分布。

上述估计区间的半径为Z_α／2·，是区间估计的精度，依赖置信系数1－α，总体标准差σ或方差σ²，样本容量n三个因素。

当1－α越大时，α越小，这时Z_α／2会增大；当σ越大时，则半径越大；n越大，半径越小。在σ与α固定时，加大n，提高样本的代表性，从而可提高估计精度。

(2)若总体X～N(μ，σ²)，但方差σ²未知，构造统计量t=服从自由度为n－1的t分布，这里的S=S_n，即S=。对预先给出的1－α，查t分布数值表得双侧α分位点t_α／2，它满足P｛－t_α／2≤≤t_α／2｝=1－α。

变形后可得μ的置信度为(1－α)的置信区间为±t_α／2·。

上面假定的条件“X是正态的”，在小样本时是不能缺少的。但若是大样本，总体X不一定要求正态，上面的估计仍近似可用。