正态分布

出处：按学科分类—哲学、宗教 上海教育出版社《心理学大辞典下卷》第1670页（816字）

亦称“常态分布”、“高斯分布”。

连续型随机变量概率分布的一种。德莫弗尔1733年发现，德国数学家高斯在研究误差理论时首先提出。连续型随机变量X的密度函数为f(x)=e－(－∞＜x＜+∞)，式中μ与σ是两个参数，σ＞0，μ为实数，且简记为X～N(μ，σ²)，称连续型随机变量X服从正态分布。正态分布的分布函数为F(x)=e－dt(－∞＜x＜+∞)。

密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形如下：

图1

图2

正态分布的其他特征：(1)f(x)的曲线是关于y=μ对称的，在x=μ时f(x)有最大值(图1)；(2)f(x)的各阶导数存在；(3)在x=μ－σ和x=μ+σ处各有一个拐点；x轴是曲线的渐近线，即limf(x)=limf(x)=0；(4)f(x)的曲线之下和x轴之上所围区域的面积等于1，由于曲线关于x=μ对称，所以x=μ左边与右边面积各；(5)正态分布N(μ，σ²)的曲线位置与形状实际上完全取决于参数μ和σ，其实μ是分布的平均值或数学期望，σ是分布的标准差。于是μ的大小决定了曲线左右位置，σ的大小决定了曲线的“胖瘦”程度(即离散程度)。

但不管μ与σ如何变化，曲线下方与x轴上方所围面积都等于1。试比较下图：

图3

而分布函数F(x)是一条连续上升的曲线，有两条水平渐近线：x轴和y=1；当x=μ时，曲线高度为0．5。正态分布在概率统计理论中占有极重要的地位，在统计实践中有十分广泛的应用。

一般来说，若影响某一指标的随机因素很多，且每个因素所起的作用不太大(即不起决定性作用)，则此指标可被视为服从正态分布。如测量误差、人的生理特征等。正态分布经过标准化可转化成标准正态分布。