从一媒质到另一媒质的倾斜入射

出处：按学科分类—工业技术 企业管理出版社《计量专业工程师手册》第555页（3136字）

现在来讨论两媒质的交界面上声波的入射角不是零度的情况，令该方向与x正向的夹角为θ，并假定声波在x，y平面内。此时各点的声压都与坐标x无关。

图11．2－5中的平面波的波阵面为AA′，BB′等，在这些波阵面上各点的声压是不变的，并且可表为：

图11．2－5 传播方向为S的平面波阵面

P=Pe^j(ωt－kd)

令d为坐标原点到传播方向的波阵面的距离。

波阵面AA′的平面方程可表为

d=xcosθ+ysinθ (11．2－22)

可以自(11．2－21)式消去d就得到声压更普遍的表达式。它同时为坐标与传播方向的函数。即

P=Pe^{i(ωt－kxcosθ－kysinθ)} (11．2－23)

假定两媒质的分界面为OO′，它垂直于x轴，如图11．2－6所示，在媒质Ⅰ中，当入射波的方向与x正向成θ_i角度时，声压的表示式为：

图11．2－6 平面波的倾斜入射

(11．2－24)

相应的，媒质Ⅰ中反射波与x正向的交角为θ_r，媒质Ⅱ中的透射波与x正方向的交角为θ_i，它们的声压表达式分别为

P_r=P_re^j(ωt+k1^xcosθr^－k1^ysi^nθr⁾ (11．2－25)

及

P_．=P_tρ^jωt－k2^xcosθt^－k2^ysinθt⁾ (11．2－26)

应用交界面x=0处声压连续的边界条件，并消去共同的因子e^jωt就得到：

P_ie^－jjk1^ysinθi+P_re^－jk1^ysixnθr=P_te^－jk2^ysinθt (11．2－27)

应用已知的平面波的入射角θ_i等于反射有θ_r的反射定律及折射定律

又因C₁／C₂=k₂／k₁，故折射定律又可以写成

由θ_i=θ_r及(11．2－28a)可以看出，(11．2－27)式中的三个指数部分是相等的，故有

P_i+P_r=P_t (11．2－29)

在交界面上，质点速度x分量的连续条件为

U_icosθ_i+U_rcos(180°－θ_r)=U_tcosθ_t

以对应的P／ρc代替式中各质点速度，则这条件就变为

联立(11．2－29)及(11．2－30)并消去P_t就得到

在垂直入射时，由于θ_i及θ_t均为0，故(11．2－31)可变为(11．2－16)式。

声反射系数α_r为

应用类似于推导(11．2－20)式的方法，就可以决定倾斜入射时P_t／P_i的比值，并且可得出声强透射系数为：

定义一个声透射系数α_t，比之(11．2－32a)式，它更能反映出声功率的比例关系，并可由下式算出，即：

a_t=1－α_r (11．2－33)

上式也可以说明非吸收性界面上，声能的守恒定律，即反射与透射的功率和等于入射功率，具体的透射系数为：

应用(11．2－28)式的折射定律，可消去cosθ_t，但在应用时可以先由(11．2－28)式算出cosθ_t的值，然后代入．(11．2－34)式计算α_t。

当入射角增加时，会出现许多有趣的特殊情况，例如在ρ₂c₂cosθ_i==ρ₁c₁cosθ_t时，功率反射系数为0，即全部功率都透射过去。将此条件联立((11．2－28)式并消去θ_t后得

这就是透射为百分之百时的入射角。因ctg²θ_i为正实数，故只有当ρ₂／ρ₁＞c₁／c₂＞1或ρ₂／ρ₁＜c₁／c₂＜1时，这一角度才存在。

若c₁＜c₂则会出现临界角θ_c，即折射线与界面法线成90°角，临界角可由下式给出即：

当入射角等于或大于临界角时，就不会有声能透入第二介质。

若c₁＞c₂时，并且入射角θ_i接近90°，这即为“掠射”的情况，这时cosθ_i→0而(11．2－32)式就变为：

因此，当入射角接近90°时，入射声能就全部反射，而与两介质的阻抗无关。

表11．2－1给出由油入射到水中时，折射角θ_t及声透射系系数α_t随入射角变化的数值。表中所用的油密度ρ₁为900kg／m³，声速c₁为1300米／秒，故其特性阻抗117000瑞利(即kg／m³s)。油的特性阻抗只比水大20%，故61．4°临界角以内各入射角对应的声透射系数都接近于1。

表11．2－1 从油到水的透射

【参考文献】：

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［6］GB 7341－87，听力计

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［10］JJG 188－90，声级计

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