矢量代数

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第3页（1835字）

矢量=(a₁，α₂，…，α_n)，=(b₁，b₂，…，b_n)，C=(c₁，c₂，…，c_n)

1．6．1 矢量加、减、数乘运算

A+B=(α₁+b₁，a₂+b₂，…，a_n十b_n)

A－B=(α₁－b₁，a₂－b₂，…，a_n－b_n)

k·A=(ka₁，ka₂，…，ka_n) k为任意实数

A+B=B+A

A+(B+C)=(A+B)+C

m(nA)=(mn)A=n(mA)

(m+n)A=mA+nA

m(A+B)=mA+mB m、n为纯量

1．6．2 矢量乘法

(1)标量积(数量积、点积、内积)

A·B=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

设|A|=a，|B|=b，A、B两矢量的夹角为θ，则标量积A·B为一纯量。记为

A·B=abcosθ (0≤θ≤π)

有 A·B=B·A

A(B+C)=A·B+A·C

(2)三维矢量的矢量积(叉积、外积)

设A=(a₁，α₂，a₃)，B=(b₁，b₂，b₃)，|A|=a，|B|=bA、B两矢量的夹角为θ，则定义A×B为两矢量的矢量积(或称叉积、外积)。它是一个矢量，其长度为以A、B为边的平行四边形的面积，方向垂直于A、B两矢量，且A、B、A×B构成右手系(图1．1－1)

图1．1－1 矢量积

|A×B|=absinθ (0≤θ≤π)

在直角坐标系中，A=a₁i+a₂j+a₃k，B=b₁i+b₂j+b₃k，则

k，i、j、k为直角单位向量。

A×A=0

A×B=－B×A

A×(B+C)=A×B+A×C

(3)三个矢量的混合积

设A=(a₁，α₂，α₃)，B=(b₁，b₂，b₃)C=c₁，c₂，c₃)为三个矢量，则定义它们的混合积为：

混合积具有性质：

A·(B×C)=(A×B)·C

(ABC)=(BCA)=(CAB)=－(ACB)=－(BAC)=－(CBA)

混合积(ABC)是一个数，其绝对值等于以A、B、C为边的平行六面体的体积。

(4)三重矢量积

A×(B×C)=(A·C)B－(A·B)C

(A×B)×C=(A·C)B－(B．C)A

采用A，B，C轮换法还可推出其余两个同类公式。

但A×(B×C)(A×B)×C

(5)矢量夹角与距离