常微分方程数值解法

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第52页（1927字）

15．6．1 一阶方程

设｛y′(x)=f(x，y)y(x₀)=y₀的解存在而且唯一欧拉折线法：

y_n+1=y_n+hf(x_n，y_n)，y(x_n+1)≈y_n+1(n=1，2，…)

截断误差为h²的同阶无穷小量，即0(h²)。

梯形法(改进的欧拉折线法)：

预报公式

校正公式 +

f(x_n+1，)〕y(x_n+1)≈y_n+1

(n=0，1，2，…)

截断误差为0(h³)。

龙格——库塔法：

式中

截断误差为0(h⁵)。

线性多步法：先用其它方法计算y₁，y₂，y₃。

预报公式 =y_n+〔55f(x_n，y_n)－59f(x_n－1，y_n－1)+37f(x_n－2，y_－2)－9f(x_n－3，y_n－3)〕

校正公式 y_n+1=y_n+〔9f(x_n+1，)+19f(x_n，y_n)－5f(x_n－1，y_n－1)+f(x_n－3，y_n－2)〕

y(x_n+1)≈y_n+1(n=3，4，…)

截断误差为0(h⁵)。

15．6．2 一阶方程组

的解存在且唯一。采用龙格—库塔法近似求解。

式中

截断误差为0(h⁵)。

15．6．3 二阶方程

设｛y”=f(x、y、y′)y(x₀)=y₀，的解存在而且唯一。

龙格—库塔法：令y′=z，化为下列一阶方程组。再按15．6．2所述方法求解。

阿达姆斯法：设在x=x₁，x₂，x₃处y(x)及y′(x)的近似值y₁，y₂，y₃及y₁′y₂′y₃′均为已知(或用其它方法先计算出)。

截断误差为0(h⁵)。

15．6．4 二阶线性方程边值问题的差分方法

第一边值问题：

可以近似地变成含n－1个未知数y₁、y₂、…、y_n－1的代数方程组

第二边值问题：

可以近似地变成含n+1个未知数y₀，y₁，…，y_n的代数方程组

第三边值问题：

可以近似地变成含n+1个未知数y_。，y₁，…，y_n的代数方程组

针对上述三种问题，求解所化成的代数方程组，可以获得原二阶线性方程边值问题的近似解y(x_j)≈y_j(j=0，1，2，…，n)，其截断误差为0(h²)。