数值积分

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第51页（1200字）

设函数y=f(x)在结点(常取x_k=x₀+kh)处的值分别为y₀，y₁，…，y_n，即f(x_k)=y_k(k=0，1，2，…，n)．Mj表示在〔a，b〕上的最大值，则可按下列公式计算

的近似值：矩形公式：

计算误差为 ，

梯形公式：

辛普生公式：

牛顿——柯特斯公式(等距内插求积公式)：

式中为柯特斯系数，见表1。1－25。

表1．1－25 柯特斯系数及余项表

注：当n=1，2时，该公式分别为梯形公式和辛普生公式。实际计算中一般将〔a，b〕分成若干小区间，对每个小区间用n值较小的公式来计算。

逐次分半加速法：结合表1．1－26，其计算步骤如下：

①计算区间端点函数值f(a)，f(b)，T₁

②将〔a、b〕分半，计算f()及T₂，由此进一步计算S₁；

③再将区间分半，计算f(a+)，f(a+)及T₄、S₂，并由此计算C₁；

④再将区间分半，计算T₄、S₄、C₂，并由此计算R₁；

⑤再将区间分半，计算T₁₆、S₈、C₄，并由此计算R₂；

⑥重复此过程计算出R₁、R₂、R₄、…，计算到前后两个R值之差不超过给定精度要求为止。

15．5．6 高斯公式(最高代数精度求积公式)：

式中 为高斯结点；为高斯系数；Rn为高斯公式余项。它们的取值见表1．1－27。注：公式对次数小于2n的多项式准确成立。

表1．1－26 逐次分半加速法计算过程

表1．1－27 离斯结点、系数及余项表