两圆相切的性质

出处:按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《初中数理化公式定理大全》第172页(2067字)

如果两圆相切,那么两圆的连心线必经过切点.

注意 已知条件中有两圆相切时,常常过切点作两圆的公切线,这是圆中常添加的辅助线.

例1 如图,☉O和☉O′内切于P点,半径OA和OB切☉O′于C,D,连O′C和O′D,如果两圆半径分别为9和3,求∠CO′D的度数.

解 ∵☉O与☉O′内切于P点,所以连接OO′并延长必过切点P.

∵OA切☉O′于C点,

∴O′C⊥OA.

同理O′D⊥OB.

∵O′C=O′D,

∴OO′平分∠AOB.(角平分线性质定理的逆定理)

在Rt△OO′C中,O′C=3,OO′=9-3=6.

∴∠COO′=30°.

∴∠COD=60°.

在四边形ODO′C中

∵∠O′CO=∠O′DO=90°,

∴∠CO′D=120°.

例2 两圆半径分别为2cm,3cm,圆心距为5cm,两圆公切线的条数为( ).

A.1条 B.2条

C.3条 D.4条

答 C.

[解析] 两圆外切共有3条公切线,两条外公切线和1条内公切线.

两圆内切只有一条内公切线,如图所示:

例3 如图,已知:☉O1与☉O2外切于P点,AB分别切☉O1、☉O2于A、B两点.

求证:PA⊥PB.

证明 连接O1O2

∵☉O1与☉O2外切于P点,

∴O1O2必过P点.

连接O1A、O2B,过P点作☉O1与☉O2的内公切线交AB于Q点.

∴∠O1AQ=∠O1PQ=∠O2BQ=∠O2PQ=90°.

又∵O1A=O1P,O2B=O2P,

∴∠O1AP=∠O1PA,∠O2BP=∠O2PB.

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

∴∠1+∠3=∠2+∠4.

又∠1+∠2+∠3+∠4=180°.

∴∠1+∠3=90°.

即PA⊥PB.

[解析] 两圆外切且有一条外公切线,三个切点构成的切点三角形为直角三角形.

例4 如图两圆外切于点T,AB是外公切线,切点分别是A、B,连心线O1O2交两圆于C、D,CA、DB的延长线交于点E,求证四边形ATBE是矩形.

证明 ∵CT为☉O1直径,∴∠CAT=90°.

同理∠DBT=90°.

由例3可知∠ATB=90°.

∴在四边形ATBE中,∠EAT=∠A7B=∠EBT=90°.

∴四边形ATBE为矩形.

上一篇:圆心距 下一篇:弧长
分享到: