可能世界语义学

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第56页（2392字）

又名关系语义学，现代模态逻辑的主要语义理论之一，其主要贡献者有：卡尔纳普、克里普克(S·A·Kripke)、欣迪卡(J·Hintikka)、坎格尔(S·Kanger)等。

可能世界语义学的主要概念是模型。一个模型是一个有序三元组(W，R，V)，这里W是一非空集合，R是定义在W之上的二元关系，V是一个赋值。

更具体地说，W是由可能世界所组成的非空集合，W的元素当然是各个不同的可能世界w_i，w_k，w_j，…w_n∈W_{(j，j，k，…n≥1)}。

所谓可能世界，就是我们能够无逻辑矛盾地加以想象的任何一个世界，具体说来，它包括(1)现实世界，(2)非现实但却物理可能的世界，(3)非现实但却逻辑可能的世界。所有这些都是可能世界集中的子集合。

R是定义在W上的任一二元关系。

更明确地说，是可能世界集合中的两个可能世界之间的一种可通达关系(accessibility relation)，wiRwj就表示由可能世界Wi可通达到另一可能世界Wj。由Wi可通达到Wj，有时被说成Wi是与Wj相关联的，由Wi可看见wj，wj对wi是选择的，wj是由wi移动的，等等。

总之，R可以是W上的任何种类的二元关系。

V是一个赋值，它给模态系统中的公式α指派W中的元素或者子集，使模态公式与W中的可能世界挂勾，从而使模态公式α在W中的某些可能世界上为真或者为假。我们用V(α)表示α在W上的赋值，它实际上是W的一个子集，因而恒有W。如若Wi∈W，则Wi∈V(α)就表示α所表示的事件在Wi中发生，或者，公式α在Wi中为真；(α)则是说，α所描述的事件不在Wi中发生，或者，α在Wi上为假。

我们令μ为模型＜W、R、V＞的缩写，并引入记号，它表示：在模型μ中的可能世界W上，α是真的。于是，可以用上述模型定义模态命题的真条件如下：

1．对任一命题变项α，当且仅当w∈V(α)；

2．，当且仅当，；

3．，当且仅当，并且；

4．，当且仅当，或者；

5．，当且仅当，或者；

6．，当且仅当，当且仅当；

7．，当且仅当，；

8．，当且仅当，α)。

我们可以更直观地解释定义7与定义8。定义7是说，□α在模型μ中的可能世界W上为真，当且仅当，在W可通达的每一可能世界w’上α为真；定义8是说，◇α在模型μ中的可能世界W上为真，当且仅当，α在W可通达的某些可能世界w’上为真。

在此基础上我们可以定义有效性，可靠性、完全性等等。如果在模型μ=＜W、R、V＞中，对于所有可能世界wi∈W，都有，则称α在模型μ下是有效的。

可以证明，K公式在任一模型下都有效，但是其他的模态公式T、S₄、E等却只在满足一定条件的模型下有效，例如T在满足自返关系的模型下有效。如果一公式在所有满足一定条件的模型下有效，则称该公式在满足那些特定条件的模型类下有效，如下公式在自返模型类下有效。如果一个模态逻辑系统的所有定理都在一给定模型类的每一模型下有效，则称该系统对于该模型类是可靠的；相反，如果在一给定模型类的每一模型中有效的公式都是一模态系统的定理，则称该模态系统相对于该模型类是完全的；再者，如果一模态系统相对于某一模型类，既是可靠的又是完全的，我们就说，该系统为那一模型类所特征化，或者说，该系统为那一模型类所决定。

以上所述为模态命题逻辑的语义学。不过，模态谓词逻辑的语义学依然是可能世界语义学，其中心概念依然是模型。不过，这里的模型是一个有序四元组＜W，R，D，V＞(简称BF模型)，其中W仍然是可能世界的非空集合，R仍是定义在W上的任一二元关系，D指个体域，V是满足下列条件的对于个体变项和谓词变项的赋值：

(1)对于任一个体变项x，V(x)∈D；

(2)对于任一谓词变项，是n+1元组＜u₁，……，u_nw＞的集合，其中每－u₁，…，u_n是D中的个体，并且W∈W。

给定－BF，模型＜W，R，D，V＞，我们可以定义模态谓词逻辑公式的真条件如下：

(1)前面所定义的模态命题的真条件1一8仍然成立，只要把α和β理解为模态谓词逻辑的公式；

(2)对于任一谓词变项φ，任一w∈W，，x_n，当且仅当，＜V(x₁)，……，V(x_n)，w＞∈V(φ)；

(3)对于任一公式α，任一个体变项x，任一w∈W，在赋值V之下，，当且仅当，在每一赋值V’(V’不同于V之处仅在于可能V(x)≠V’(x))之下，。

有效性，可靠性，完全性的定义可以参照模态命题逻辑的相应定义给出，当然还要作一些必要的改变。