多值逻辑

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第63页（2674字）

一般用来泛指引入附加逻辑真值后，使逻辑真值的数目大于二的逻辑系统。

它是正在发展中的现代逻辑的重要分支。

对于多值逻辑的研究，可以追溯到19世纪。Hugh Mccoll(1837一1907)给出了最早的三值逻辑；charles、peirce(1839－1914)研究了三分法数学；Nikolai A．vasil’ev(1880－1940)则给出了他的“假想的非亚里斯多德逻辑”。

第一个完整的多值逻辑系统诞生于1920～1921年。

波兰逻辑学家J．Lukasiewicz和美国学者F．L．Post先后报告了他们的成果。现在人们称之为Post逻辑系统与Luksiewicz逻辑系统。它们是多值逻辑领域中最有代表性的多值逻辑系统。迄今为止的许多多值逻辑(包括模糊逻辑)系统都是由此得到启迪、借鉴和发展的。

多值逻辑的诞生与发展有着重要的方法学意义。

与概率逻辑的出现是对经典因果律的突破一样，多值逻辑的出现是对传统排中律的突破。

Lukasiewicz的多值逻辑受到了Kotarbin’ski研究未来存在问题的影响。在Lukasiewicz早期的哲学着作中可以看到他的逻辑系统与他对归纳、决策、概率、必然性、因果关系的思考紧密相关。

Lukasiewicz是这样表达未来可能问题的：

我可以肯定地说：“我明年某一时刻，如12月21日中午在华沙这件事现在不能作出肯定或否定的决定。”所以，在上面所说的时刻，我将在华沙是可能的但不是必定的。

按照这个预想，“我明年12月21日中午将在华沙”这句话在说话的时刻既不真也不假。因为若现在它为真，则我将来在华沙就将是必定的，这就和预想矛盾。

若现在它为假，则我将来在华沙就将是不可能的，这又和预想矛盾。所以，这句话在目前就非真非假。

也就是说，必须有区别于0(假)，1(真)之间的第三个真值。我们用表示。

即它作为“假”和“真”之间的第三个“可能值”。这就是产生三值命题逻辑系统的一连串思想过程。”

Lukasiewicz三值逻辑的构想虽然源于上述的未来可能问题的研究，但由此发展起来的多值思考远远超过了这个含义。

在此基础上，Lukasiewicz与Tarski的工作又构造了n值语言逻辑系统Ln。

Ln可定义如下：

一个命题演算的n值逻辑系统是满足矩阵(四元组)m=〔A，B，f，g〕的所有命题的集合。这里，n是自然数，或者是集合。若n=1，则A对应空集。若1≤n＜§。则A包含了形如K／n1的全部分数。这里0≤k≤n－1；若n=§。

，则A包含了全部Pk／e的分数。这里k∈(0，1)，显然，集合A表示了各种不同的逻辑取值域。

集合B=｛1｝。

函数f，g分别表示蕴涵和否定。因此Lukasiewicz逻辑是一个“蕴涵－否定系统”。f，g分别定义为：

这里，p，q，分别表示原始命题P，Q的真值。

而且，p，q∈〔0，1〕。

因为，多值逻辑的建立是对传统排中律的。故此，其他三个联结词的定义十分必要：

显然，当p，q∈｛0，1｝时，上面的五个联结词退化为经典逻辑的对应结果。

可见，多值逻辑是经典二值逻辑的拓宽，它包含了经典的二值逻辑。

Post逻辑可用下面的矩阵族表示：

｛m－i，m－i+1，…，m－2，m－1｝，n^m，a^m)

这里m，i是参数且0＜i＜m。矩阵函数n^m，a^m定义为：n^m(0)=m－1，若x＞0则n^m(x)=x－1

a^m(x，y)=max(x，y)

显然中n^m，a^m类似经典逻辑中否定，析取。

当m=2，i=1时，Post矩阵就简约为经典矩阵(即，Post逻辑就退化为经典逻辑：

其中n²(0)=2－1=1，n²(1)=1－1=0表示否定。

a²(x，y)=max(x，y)=x∨y表示析取。

表列为：

当m=3，i=1时，Post矩阵族简约为一个三值系统

这里函数n³，a³表三值逻辑中的否定和析取其中，否定n³是一元运算。析取a3是二元运算。可由下表给出：

除了上述二个最早提出的系统以外，最重要的三值逻辑系统还有Bochvar的三值逻辑与Kleene的三值逻辑。在三值逻辑的基础上逻辑学家又构造了标准序列S_n及其各种变异系统，探索了多值逻辑的公理化系列，研究了各种逻辑系统的系统特征，进行元逻辑层次的讨论。

近年来，多值逻辑的研究远远超出了逻辑推理的范围。并且与本体论、知识论、自然科学哲学、数学哲学等哲学学科的研究结合起来。多值逻辑还在自然科学、数学和科学技术的应用上显示出其方法论上的意义。例如Birkhoff和Von Neumann的“量子力学逻辑”就是非常典型的具有非希尔特征的多值逻辑系统。

其他，如作为多值逻辑演算的多值代数的研究(如Post代数与模代数)；多值电路的研究；多值系统结构的研究；运用某些多值逻辑的思想指导计算机硬、软件设计的研究等都出现了新的突破。

我国学者在多值逻辑的研究上也作了不少工作。如“四值逻辑与星算法”，“转移逻辑与泛系逻辑”都得到了国际上普遍的承认。