微分动力系统理论

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第131页（1030字）

关于系统科学基础理论和方法的一门数学分支，由常微分方程理论，微分拓扑学与现代微分几何学等学科融合而成。

本理论兴起于本世纪60年代，其理论渊源可追溯到二三十年代由点集论与常微分方程定性理论相结合产生的拓扑动力系统。在西方和苏联，这一学科较早时期的代表人物分别是S·Smale与Д·в·Аносов。我国着名数学家廖山涛教授在这一领域里的研究，取得了突出成绩。

从数学角度来看动力系统，一般来说，应具备两个要素：一是系统所有可能状态的集合，即相空间；二是各个状态随时间变化的规律。所谓微分动力系统，正是指相空间M具有可微性结构且φ对时间t及状态变量x∈M可微分。这里的φ刻划了相空间M上所有状态对时间变化的规律。

可微性条件也是至关重要的，它更深刻地揭示了系统内在的运动规律。可以说，微分动力系统对拓扑动力系统的突破，就是由此开始的。

出于数学上的需要，微分动力系统理论还引进了“流形”这一概念，以微分流形作为微分动力系统的相空间，可以保证整体表达客观系统的相空间。

微分动力系统理论两个最基本的概念是Ω集与结构稳定性。所谓动力系统的Ω集是客观系统中具有回复性质的状态的数学模型，系统全局性态基本上取决于Ω集及其附近轨线的状态，因而，研究动力系统很大程度上是研究其Ω集的性质。结构稳定性也是微分动力系统研究的一个中心问题，是系统整体性质的一种拓扑性质。

运用结构稳定的概念可以定义Ω的稳定性，即小扰动下保持系统Ω集拓扑结构不变(拓扑等价)的性质。

微分动力系统结构稳定性的研究工作大体可概括为两个方面：一是试图给出结构稳定性(或Ω稳定性)等价判据，二是努力探索结构稳定的动力系统在全体动力系统中的地位如何。

微分动力系统理论创始人之一Smale就微分动力系统结构稳定的必要条件提出Smale猜想，当Ω集具有“Smale猜想”中的“微观”构造时，系统便是结构稳定的。我国学者廖山涛教授的工作，对于完善和发展“Smale猜想”做出了卓越贡献。

经过20多年的发展，目前结构稳定性的研究已取得了丰硕的成果。尤其是近年来，关于chaos(混沌)、奇异吸引子，湍流等问题的多学科研究几乎达到了白热化程度，更促进了微分动力系统理论研究的深入。