费尔马猜想与无限递降法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第244页（1176字）

费尔马猜想也叫费尔马大定理，它是数论中的一个着名问题。

无限递降法是研究费尔马猜想的一个重要方法，约在1637年，法国着名数学家费尔马，在一本数学书的空白处写了一段简短的笔记，他指出：不可能把一个正整数的三次方幂分成两个三次方幂的和，一个四次方幂分成两个四次方幂的和，或者一般地不可能把任一个次数大于2的正整数的方幂分成两个同方幂的和。这就是着名的费尔马猜想或费尔马大定理。用不定方程来表示，费尔马猜想是指：当n＞2时，丢番图方程(即不定方程)

xⁿ+yⁿ=zⁿ

除了xyz=0的解(零解)外，没有其他的整数解(非零解)。

三百多年来，许多优秀的数学家都企图证明它，但至今尚未成功。然而由于研究费尔马猜想而建立起来的一系列数学方法，已经成为许多近代数学分支的重要工具，其中的主要方法有：初等方法、理想数论的方法以及代数几何的方法。

要证明费尔马猜想，实际上只需要证明不定方程x⁴+y⁴=z⁴和不定方程x^p+y^p=z^p(p是奇素数)均无非零解就可以了。

这是因为任→大于2的整数n，若不是4的倍数，则必定是某一个奇素数p的倍数。很早，对小于25000的n以及许多更大的n值，已经证明费尔马猜想成立，但这些结果离开这个猜想的证明仍很遥远。然而，在这些结果的证明方法中，费尔马本人所创造的所谓“无限递降法”却具有重要的意义。

为此，下面便以n=4这一重要情形为例，来介绍这一方法，要证明x⁴+y⁴=z⁴无非零整数解，只要证明x⁴+y⁴=z⁴无非零整解即可，对此用费尔马的无限递降法：考虑x⁴+y⁴=z⁴的所有非零正整数解的集合，只要证明此集是空集即可，用反证法，假设它不是空集，则在此集合中，必有一组解使它们的值都为正，设这组解是(x，y，z)，“无限递降法”的主要思想是：要从这一组正解(x，y，z)出发，找出另一组使z的值更小的正解(x₁，y₁，z₁)(其中011，y₁，z₁)出发，又可以得到另一组正解(x₂，y₂，z₂)，使z₂11，y₁，z1)，(x₂，y₂，z₂)，…，(x_n，y_n，z_n)，…使得正整数序列｛z_n｝为一无限递降的数列，即

z＞z₁＞z₂＞…＞z_n＞…，

然而z＞1是一个给定的正整数，显然这是不可能的，因而得出矛盾，因此x⁴+y⁴=z⁴没有非零整数解，从而也证明了x⁴+y⁴=z⁴没有非零整数解，这种证明方法叫做“无限递降法”，这个方法在数论中有极为广泛的应用，应用它，可以证明许多重要的不定方程，例如：x³+y³=z³，x⁴－y⁴=z²，(x，y)=1等均无非零整数解。