齐次函数和欧拉公式

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第217页（456字）

对一个定义在非负卦限上的n元函数f(x₁，…，x_n)，如果对某一个整数r及每一个t＞0，都有等式f(tx₁，…，tx_n)=t^rf(x₁，…，x_n)成立，则称f(x₁，…，x_n)为r阶齐次函数。

在经济学中的消费者需求函数x(p，y)是零阶齐次，常见的柯布－道格拉斯生产函数f(L，K)=L^αK^β是(α+β)阶齐次。

如果f(x₁，…，x_n)是r阶齐次的及可微的，则对任何(x₁，…，x_n)≥0，下式成立：

这就是欧拉公式。

例如设f(L，K)是一个一阶齐次生产函数，由欧拉公式有：

它的经济意义是，当生产函数是一阶齐次时，各种投入的边际产量乘其投入量之和，正好等于总产量。